初中数学二次函数的应用解答题

【观察】 $1\times 49=49$， $2\times 48=96$， $3\times 47=141$， $\dots$， $23\times 27=621$， $24\times 26=624$， $25\times 25=625$， $26\times 24=624$， $27\times 23=621$， $\dots$， $47\times 3=141$， $48\times 2=96$， $49\times 1=49$．

【发现】根据你的阅读回答问题：

（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　　；

（2）设参与上述运算的第一个因数为 $a$，第二个因数为 $b$，用等式表示 $a$与 $b$的数量关系是　　．

【类比】观察下列两数的积： $1\times 59$， $2\times 58$， $3\times 57$， $4\times 56$， $\dots$， $m\times n$， $\dots$， $56\times 4$， $57\times 3$， $58\times 2$， $59\times 1$．

猜想 $\mathit{mn}$的最大值为　　，并用你学过的知识加以证明．

小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为 $x$（元 $)$，日销量为 $y$（件 $)$，日销售利润为 $w$（元 $)$．

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式．

（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？

（3）求日销售利润 $w$（元 $)$与销售单价 $x$（元 $)$的函数关系式，当 $x$为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．

某服装店以每件30元的价格购进一批 $T$恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设 $T$恤的销售单价提高 $x$元．

（1）服装店希望一个月内销售该种 $T$恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问 $T$恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种 $T$恤获得的利润最大？最大利润是多少元？

2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价 $y_1$（元 $)$与月份 $x(1⩽x⩽12$，且 $x$为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本 $y_2$（元 $)$与月份 $x(1⩽x⩽12$，且 $x$为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．

月份 $x$	$\dots$	3	4	5	6	$\dots$
售价 $y_1/$元	$\dots$	12	14	16	18	$\dots$

（1）求 $y_1$与 $x$之间的函数关系式．

（2）求 $y_2$与 $x$之间的函数关系式．

（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为 $w$（元 $)$，求 $w$与 $x$之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？

铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y$（千克）与每千克降价 $x$（元 $\left)\right(0<x<20)$之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？

某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于 $90\%$，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量 $y$（个 $)$与销售单价 $x$（元 $)$符合一次函数关系，如图所示：

（1）根据图象，直接写出 $y$与 $x$的函数关系式．

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

课本中有一个例题：

有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 $6m$，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 $0.35m$时，透光面积最大值约为 $1.05m^2$．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为 $6m$，利用图3，解答下列问题：

（1）若 $\mathit{AB}$为 $1m$，求此时窗户的透光面积？

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价 $x$元，每星期的销售量为 $y$件．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？

（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？

②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？

麦积山石窟是世界文化遗产，国家 $\mathit{AAAAA}$级旅游景区，中国四大石窟之一．在2018年中国西北旅游营销大会暨旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．

（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）若每件工艺品按此进价进货、标价销售，商家每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？

如图所示，在正方形 $\mathit{ABCD}$和 $\mathit{\Delta EFG}$中， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=\mathit{EG}=5\mathit{cm}$， $\mathit{FG}=8\mathit{cm}$，点 $B$、 $C$、 $F$、 $G$在同一直线 $l$上．当点 $C$、 $F$重合时， $\mathit{\Delta EFG}$以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿直线 $l$向左开始运动， $t$秒后正方形 $\mathit{ABCD}$与 $\mathit{\Delta EFG}$重合部分的面积为 $\mathit{Sc}{m}^2$．请解答下列问题：

（1）当 $t=3$秒时，求 $S$的值；

（2）当 $t=5$秒时，求 $S$的值；

（3）当5秒 $<t⩽8$秒时，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值．

某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件，公司决定销售单价 $x$（元 $)$不低于60元，而市场要求 $x$不得超过100元．

（1）求出每天的销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（2）求出每天的销售利润 $W$（元 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的函数关系式，并求出当 $x$为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值；

（3）若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元，则销售单价 $x$最低可定为多少元？

随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆．我市某旅行社推出“辽阳 $-$葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用 $y$（元 $)$与团队报名人数 $x$（人 $)$之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元．旅行社收到的团队总报名费用为 $w$（元 $)$．

（1）直接写出当 $x⩾20$时， $y$与 $x$之间的函数关系式及自变量 $x$的取值范围；

（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？

（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？

某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式．

（2）设这种商品月利润为 $W$（元 $)$，求 $W$与 $x$之间的函数关系式．

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 $x$天生产的粽子数量为 $y$只， $y$与 $x$满足如下关系：

$y=\left\{\begin{array}{c}34x(0⩽x⩽6)\\ 20x+80(6<x⩽20)\end{array}\right.$

（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图，设第 $x$天生产的每只粽子的成本是 $p$元， $p$与 $x$之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第 $x$天创造的利润为 $w$元，求 $w$与 $x$之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润 $=$出厂价 $-$成本）

结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 $80m$，宽 $60m$的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 $36m$，不大于 $44m$，预计活动区造价60元 $/m^2$，绿化区造价50元 $/m^2$，设绿化区域较长直角边为 $\mathit{xm}$．

（1）用含 $x$的代数式表示出口的宽度；

（2）求工程总造价 $y$与 $x$的函数关系式，并直接写出 $x$的取值范围；

（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出 $x$为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．

（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 $11m^2$，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少 $m^2$．