初中数学二次函数的应用试题

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．

说明：①汽车数量为整数；②月利润 $=$ 月租车费 $-$ 月维护费；③两公司月利润差 $=$ 月利润较高公司的利润 $-$ 月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　 48000 　元；当每个公司租出的汽车为 　　辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出 $a$ 元 $(a>0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，点 $B$坐标 $(-3,0)$，点 $C$在 $y$轴正半轴上，且 $\sin \angle \mathit{CBO}=\frac{4}{5}$，点 $P$从原点 $O$出发，以每秒一个单位长度的速度沿 $x$轴正方向移动，移动时间为 $t(0⩽t⩽5)$秒，过点 $P$作平行于 $y$轴的直线 $l$，直线 $l$扫过四边形 $\mathit{OCDA}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$坐标．

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式．

（3）在直线 $l$移动过程中， $l$上是否存在一点 $Q$，使以 $B$、 $C$、 $Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$ 　 $=$ 　 $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

已知某厂以 $t$ 小时 $/$ 千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $0.1<t⩽1)$ ，且每小时可获得利润 $60(-3t+\frac{5}{t}+1)$ 元．

（1）某人将每小时获得的利润设为 $y$ 元，发现 $t=1$ 时， $y=180$ ，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行解析说明；

（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；

（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$    $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

如图，某日的钱塘江观潮信息如图：

按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 $s$（千米）与时间 $t$（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“ $11:40$时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点 $A(0,12)$，点 $B$坐标为 $(m,0)$，曲线 $\mathit{BC}$可用二次函数 $s=\frac{1}{125}{t}^2+\mathit{bt}+c(b$， $c$是常数）刻画．

（1）求 $m$的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；

（2） $11:59$时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米 $/$分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？

（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米 $/$分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度 $v=v_0+\frac{2}{125}(t-30)$， $v_0$是加速前的速度）．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $\mathit{CB}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AB}=16\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=8\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $D$开始沿 $\mathit{DA}$边匀速运动，动点 $Q$从点 $A$开始沿 $\mathit{AB}$边匀速运动，它们的运动速度均为 $2\mathit{cm}/s$．点 $P$和点 $Q$同时出发，以 $\mathit{QA}$、 $\mathit{QP}$为边作平行四边形 $\mathit{AQPE}$，设运动的时间为 $t\left(s\right)$， $0<t<5$．

根据题意解答下列问题：

（1）用含 $t$的代数式表示 $\mathit{AP}$；

（2）设四边形 $\mathit{CPQB}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{QP}\perp \mathit{BD}$时，求 $t$的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $E$在 $\angle \mathit{ABD}$的平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=90°$ ， $\mathit{OT}$ 是 $\angle \mathit{MON}$ 的平分线， $A$ 是射线 $\mathit{OM}$ 上一点， $\mathit{OA}=8\mathit{cm}$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AO}$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，也以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{ON}$ 竖直向上作匀速运动．连接 $\mathit{PQ}$ ，交 $\mathit{OT}$ 于点 $B$ ．经过 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 三点作圆，交 $\mathit{OT}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{QC}$ ．设运动时间为 $t\left(s\right)$ ，其中 $0<t<8$ ．

（1）求 $\mathit{OP}+\mathit{OQ}$ 的值；

（2）是否存在实数 $t$ ，使得线段 $\mathit{OB}$ 的长度最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形 $\mathit{OPCQ}$ 的面积．

已知： $\text{Rt}\Delta \text{EFP}$和矩形 $\mathit{ABCD}$如图①摆放（点 $P$与点 $B$重合），点 $F$， $B\left(P\right)$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=\mathit{FP}=8\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EFP}=90°$．如图②， $\mathit{\Delta EFP}$从图①的位置出发，沿 $\mathit{BC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$， $\mathit{EP}$与 $\mathit{AB}$交于点 $G$；同时，点 $Q$从点 $C$出发，沿 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$．过点 $Q$作 $\mathit{QM}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{PQ}$，当点 $Q$停止运动时， $\mathit{\Delta EFP}$也停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{PQ}//\mathit{BD}$？

（2）设五边形 $\mathit{AFPQM}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$，求 $y$与 $t$之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形AFPQM}}:S_{\mathit{矩形ABCD}}=9:8$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $M$在线段 $\mathit{PG}$的垂直平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle A=90°$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=8$ ，点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内一点，则 $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2$ 取得最小值时，下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三边垂直平分线的交点
B．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条内角平分线的交点
C．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条高的交点
D．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条中线的交点

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．

（1）线段　　；

（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．

小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度 $v(m/s)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图1中的实线所示，行驶路程 $s\left(m\right)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图2所示，在加速过程中， $s$与 $t$满足表达式 $s=a{t}^2$

（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求 $a$的值；

（2）求图2中 $A$点的纵坐标 $h$，并说明它的实际意义；

（3）爸爸在乙处等待7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度 $v(m/s)$与时间 $t\left(s\right)$的关系如图1中的折线 $O-B-C$所示，加速过程中行驶路程 $s\left(m\right)$与时间 $t\left(s\right)$的关系也满足 $s=a{t}^2$，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．

如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知点 $A(4,3)$ ，点 $B$ 为直线 $y=-2$ 上的一动点，点 $C(0,n)$ ， $-2<n<3$ ， $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ．若直线 $\mathit{AB}$ 与 $x$ 正半轴所夹的锐角为 $\alpha$ ，那么当 $\sin \alpha$ 的值最大时， $n$ 的值为 　　．