初中数学角平分线的性质试题

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，按下列步骤作图：①以点 $B$为圆心， 适当长为半径画弧， 与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$分别交于点 $D$， $E$；②分别以 $D$， $E$为圆心， 大于 $\frac{1}{2}\mathit{DE}$的长为半径画弧， 两弧交于点 $P$；③作射线 $\mathit{BP}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$；④过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $G$． 下列结论正确的是 $($　　 $)$

A ． $\mathit{CF}=\mathit{FG}$B ． $\mathit{AF}=\mathit{AG}$C ． $\mathit{AF}=\mathit{CF}$D ． $\mathit{AG}=\mathit{FG}$

两个城镇 $A$， $B$与一条公路 $\mathit{CD}$，一条河流 $\mathit{CE}$的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 $A$， $B$的距离必须相等，到 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$的距离也必须相等，且在 $\angle \mathit{DCE}$的内部，请画出该山庄的位置 $P$．（不要求写作法，保留作图痕迹． $)$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作 $\angle \mathit{BAC}$的平分线 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$；

②作边 $\mathit{AB}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{AM}$相交于点 $P$；

③连接 $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$．

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$之间的数量关系是　                　；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=70°$，求 $\angle \mathit{BPC}$的度数．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连结 $\mathit{CD}$交 $\mathit{BE}$于点 $O$．若 $\mathit{AC}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{OE}$的长是　　．

如图四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle \mathit{BCD}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{BC}+\mathit{AD}$， $\angle \mathit{DAC}=45°$， $E$为 $\mathit{CD}$上一点，且 $\angle \mathit{BAE}=45°$．若 $\mathit{CD}=4$，则 $\mathit{\Delta ABE}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{12}{7}$B． $\frac{24}{7}$C． $\frac{48}{7}$D． $\frac{50}{7}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle A=30°$，以点 $B$为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\mathit{BA}$， $\mathit{BC}$于点 $M$， $N$；再分别以点 $M$， $N$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{MN}$的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，作射线 $\mathit{BP}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．则下列说法中不正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{BP}$是 $\angle \mathit{ABC}$的平分线B． $\mathit{AD}=\mathit{BD}$

C． $S_{\mathit{\Delta CBD}}:S_{\mathit{\Delta ABD}}=1:3$D． $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BD}$

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{CD}$ 边上取一点 $E$ ，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 沿 $\mathit{BE}$ 翻折，使点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 边上点 $F$ 处．

（1）如图1，若 $\mathit{BC}=2\mathit{BA}$ ，求 $\angle \mathit{CBE}$ 的度数；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=5$ ，且 $\mathit{AF}·\mathit{FD}=10$ 时，求 $\mathit{BC}$ 的长；

（3）如图3，延长 $\mathit{EF}$ ，与 $\angle \mathit{ABF}$ 的角平分线交于点 $M$ ， $\mathit{BM}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $N$ ，当 $\mathit{NF}=\mathit{AN}+\mathit{FD}$ 时，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$为弦， $\angle \mathit{BA}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

求证：（1） $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$；

（2） $\mathit{AE}+\mathit{CE}=\mathit{AB}$．

如图， $\mathit{OP}$平分 $\angle \mathit{AOB}$， $\angle \mathit{AOP}=15°$， $\mathit{PC}//\mathit{OA}$， $\mathit{PD}\perp \mathit{OA}$于点 $D$， $\mathit{PC}=4$，则 $\mathit{PD}=$　     　．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$，以顶点 $C$为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，再分别以点 $E$， $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{EF}$的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，作射线 $\mathit{CP}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$．若 $\mathit{BD}=3$， $\mathit{AC}=10$，则 $\mathit{\Delta ACD}$的面积是　　．

如图， $\mathit{OC}$为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线， $\mathit{CM}\perp \mathit{OB}$， $\mathit{OC}=5$， $\mathit{OM}=4$，则点 $C$到射线 $\mathit{OA}$的距离为　　．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$， $P$为射线 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{BP}$为边作正方形 $\mathit{BPEF}$，使点 $F$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{EC}$．

（1）如图1，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，求证： $\mathit{EA}=\mathit{EC}$；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{AC}$，判断 $\mathit{\Delta ACE}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{AC}$，当 $\mathit{EP}$平分 $\angle \mathit{AEC}$时，设 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{BP}=b$，求 $a:b$及 $\angle \mathit{AEC}$的度数．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，以顶点 $A$为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$，再分别以点 $M$， $N$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{MN}$的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，作射线 $\mathit{AP}$交边 $\mathit{BC}$于点 $D$，若 $\mathit{CD}=4$， $\mathit{AB}=15$，则 $\mathit{\Delta ABD}$的面积是 $($　　 $)$

A．15B．30C．45D．60

已知：四边形 $\mathit{ABCD}$．

求作：点 $P$，使 $\angle \mathit{PCB}=\angle B$，且点 $P$到边 $\mathit{AD}$和 $\mathit{CD}$的距离相等．