初中数学矩形的性质解答题

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作 $\mathit{EG}\parallel \mathit{CD}$交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AG}＝6$， $\mathit{EG}=2\sqrt{5}$，求BE的长．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

（1）求证：△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．

如图，矩形 ABCD中， AB＞ AD，把矩形沿对角线 AC所在直线折叠，使点 B落在点 E处， AE交 CD于点 F，连接 DE．

（1）求证：△ ADE≌△ CED；

（2）求证：△ DEF是等腰三角形．

如图，矩形 ABCD中，过对角线 BD中点 O的直线分别交 AB， CD边于点 E、 F．

（1）求证：四边形 BEDF是平行四边形；

（2）只需添加一个条件，即 　　，可使四边形 BEDF为菱形．

如图，在矩形 ABCD中， AB＝3， BC＝5， E是 AD上的一个动点．

（1）如图1，连接 BD， O是对角线 BD的中点，连接 OE．当 OE＝ DE时，求 AE的长；

（2）如图2，连接 BE， EC，过点 E作 EF⊥ EC交 AB于点 F，连接 CF，与 BE交于点 G．当 BE平分∠ ABC时，求 BG的长；

（3）如图3，连接 EC，点 H在 CD上，将矩形 ABCD沿直线 EH折叠，折叠后点 D落在 EC上的点 D'处，过点 D′作 D′ N⊥ AD于点 N，与 EH交于点 M，且 AE＝1．

①求 $\frac{S_{△E{D}^{\text{'}}M}}{S_{△\mathit{EMN}}}$ 的值；

②连接 BE，△ D' MH与△ CBE是否相似？请说明理由．

如图，在四边形 ABCD中， AD∥ BC，∠ ABC＝90°， AB＝ AD，连接 BD，点 E在 AB上，且∠ BDE＝15°， DE＝4 $\sqrt{3}$ ， DC＝2 $\sqrt{21}$ ．

（1）求 BE的长；

（2）求四边形 DEBC的面积．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

阅读理解：

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 $\frac{1}{\sin \alpha }$的值叫做这个平行四边形的变形度．

（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是　　．

猜想证明：

（2）设矩形的面积为S₁，其变形后的平行四边形面积为S₂，试猜想S₁，S₂， $\frac{1}{\sin \alpha }$之间的数量关系，并说明理由；

拓展探究：

（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且 $A{B}^2＝\mathit{AE}•\mathit{AD}$，这个矩形发生变形后为平行四边形A₁B₁C₁D₁，E₁为E的对应点，连接B₁E₁，B₁D₁，若矩形ABCD的面积为 $4\sqrt{\pi }(m>0)$，平行四边形A₁B₁C₁D₁的面积为 $2\sqrt{\pi }(m>0)$，试求∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁的度数．

如图，在矩形 ABCD中， AB＝3， BC＝4，将矩形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转α角，得到矩形 A' B' C' D'， B' C与 AD交于点 E， AD的延长线与 A' D'交于点 F．

（1）如图①，当α＝60°时，连接 DD'，求 DD'和 A' F的长；

（2）如图②，当矩形 A' B' CD'的顶点 A'落在 CD的延长线上时，求 EF的长；

（3）如图③，当 AE＝ EF时，连接 AC， CF，求 AC• CF的值．

如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）若 $\mathit{AP}=\sqrt{2}$，求CF的长．

如图，在边长为1的正方形组成的方格中，点，都在格点上．

（1）在给定的方格中将线段平移到，使得四边形是矩形，且点，都落在格点上．画出四边形，并叙述线段的平移过程；

（2）在方格中画出关于直线对称的；

（3）直接写出与的交点到线段的距离．

在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点， $\frac{\mathit{EH}}{\mathit{EG}}=3$，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．

（1）求证： $\frac{\mathit{EC}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{EH}}{\mathit{BH}}$；

（2）若∠CGF＝90°，求 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$的值．

如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）

如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k>0)$ ，点 $E$ 是线段 $\mathit{CB}$ 延长线上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AF}\perp \mathit{AE}$ 交射线 $\mathit{DC}$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $k=1$ ，则 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　 　；

（2）如图2，若 $k\ne 1$ ，试判断 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 $k$ 的式子表示）

（3）若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}=4$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{EG}$ ，当 $\mathit{CF}=1$ 时，求 $\mathit{EG}$ 的长．