初中数学矩形的性质解答题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 的垂直平分线分别与边 $\mathit{AB}$ 和边 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $M$ ， $N$ ，与边 $\mathit{AD}$ 交于点 $E$ ，垂足为点 $O$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AOM}\cong \mathit{\Delta CON}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=6$ ，请直接写出 $\mathit{AE}$ 的长为 　　．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{AD})$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $\mathit{DC}$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上．求证：四边形 $\mathit{AEA}\text{'}D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A\text{'}\mathit{DE}$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A\text{'}$ 沿 $\mathit{DC}$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $\mathit{PF}$ ，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，点 $P$ 在 $\mathit{AB}$ 上，那么 $\mathit{\Delta PQF}$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $\mathit{QC}=\mathit{QP}$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $\mathit{QG}$ ，点 $G$ 在 $\mathit{AB}$ 上．要使四边形 $\mathit{PGQF}$ 为菱形，则 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=$ 　 　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AD}=1$ ，点 $E$ 为边 $\mathit{CD}$ 上的一点（与 $C$ 、 $D$ 不重合），四边形 $\mathit{ABCE}$ 关于直线 $\mathit{AE}$ 的对称图形为四边形 $\mathit{ANME}$ ，延长 $\mathit{ME}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $P$ ，记四边形 $\mathit{PADE}$ 的面积为 $S$ ．

（1）若 $\mathit{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $S$ 的值；

（2）设 $\mathit{DE}=x$ ，求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta DFA}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $\mathit{DE}$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $\mathit{BC}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ ，求 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{DE}}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点， $\mathit{EP}$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）若，记，，求的值．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $C$ 点， $A$ 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{AB}$ 上沿 $C\to A$ ， $A\to B$ 的方向运动，当点 $Q$ 运动到点 $B$ 时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设点 $P$ 运动的时间为 $t\left(s\right)$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PQ}$ ， $\mathit{PE}$ 与边 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{QE}$ ．

（1）如图2，当 $t=5s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ．求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ；

（2）在（1）的条件下，试探究线段 $\mathit{AQ}$ ， $\mathit{QE}$ ， $\mathit{CE}$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当 $t>\frac{9}{4}s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{FQ}$ ，若 $\mathit{FQ}$ 平分 $\angle \mathit{AFP}$ ，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{CE}}$ 的值．

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是 　 　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 垂线交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{DBC}=45°$ ，证明：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ 中， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ．求 $\odot O$ 的半径．

实践操作：

第一步：如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在 $\mathit{CD}$ 上的点 $A^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{DE}$ ，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿过点 $E$ 的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $\mathit{AD}$ 上的点 $C\text{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{\text{'}}$ 处，得到折痕 $\mathit{EF}$ ， $B^{\text{'}}C\text{'}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $C\text{'}F$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $N$ ，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形 $\mathit{AE}{A}^{\text{'}}D$ 的形状是 　 　；

（2）如图2，线段 $\mathit{MC}\text{'}$ 与 $\mathit{ME}$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若 $\mathit{AC}\text{'}=2\mathit{cm}$ ， $D{C}^{\text{'}}=4\mathit{cm}$ ，求 $\mathit{DN}:\mathit{EN}$ 的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=20$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿着 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $\mathit{CD}$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $\mathit{DG}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 沿着 $\mathit{AF}$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $\mathit{AG}$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{\mathit{\Delta GFH}}:S_{\mathit{\Delta AFH}}=2:3$ ，

（1）求证： $\mathit{\Delta EGC}\backsim \mathit{\Delta GFH}$ ；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长；

（3）求 $\tan \angle \mathit{GFH}$ 的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=4$ ，将 $\angle A$ 向内翻折，点 $A$ 落在 $\mathit{BC}$ 上，记为 $A_1$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ．若将 $\angle B$ 沿 $E{A}_1$ 向内翻折，点 $B$ 恰好落在 $\mathit{DE}$ 上，记为 $B_1$ ，则 $\mathit{AB}=$ 　 　．

如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）连接，若，，，求四边形的面积．

如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为．

（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；

（2）在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标；

（3）在（2）的条件下，的周长最小值是　 　．

在中，，，．以为边作周长为18的矩形，，分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．

如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若，，且，求的长．