初中数学矩形的性质解答题

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$ 的两边 $\mathit{OC}$ 、 $\mathit{OA}$ 分别在坐标轴上，且 $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OC}=4$ ，连接 $\mathit{OB}$ ．反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}(x>0)$ 的图象经过线段 $\mathit{OB}$ 的中点 $D$ ，并与 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ．一次函数 $y=k_{2}x+b$ 的图象经过 $E$ 、 $F$ 两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$ 的值最小时，点 $P$ 的坐标为 　　．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$的一条边 $\mathit{AD}=8$，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使得顶点 $B$落在 $\mathit{CD}$边上的 $P$点处

（Ⅰ）如图1，已知折痕与边 $\mathit{BC}$交于点 $O$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$、 $\mathit{OA}$．若 $\mathit{\Delta OCP}$与 $\mathit{\Delta PDA}$的面积比为 $1:4$，求边 $\mathit{CD}$的长．

（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 $\mathit{AO}$、线段 $\mathit{OP}$，连接 $\mathit{BP}$．动点 $M$在线段 $\mathit{AP}$上（点 $M$与点 $P$、 $A$不重合），动点 $N$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BN}=\mathit{PM}$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{PB}$于点 $F$，作 $\mathit{ME}\perp \mathit{BP}$于点 $E$．试问当动点 $M$、 $N$在移动的过程中，线段 $\mathit{EF}$的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段 $\mathit{EF}$的长度．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $A$旋转得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$，使点 $B$的对应点 $B^{\text{'}}$落在 $\mathit{AC}$上， $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $B^{\text{'}}C\text{'}$上取点 $F$，使 $B^{\text{'}}F=\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=C\text{'}E$．

（2）求 $\angle \mathit{FB}{B}^{\text{'}}$的度数．

（3）已知 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，点 $F$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DCF}$ ；

（2）四边形 $\mathit{AEFD}$ 是平行四边形．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$在平面直角坐标系的第一象限内， $\mathit{BC}$与 $x$轴平行， $\mathit{AB}=1$，点 $C$的坐标为 $(6,2)$， $E$是 $\mathit{AD}$的中点；反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}(x>0)$图象经过点 $C$和点 $E$，过点 $B$的直线 $y_2=\mathit{ax}+b$与反比例函数图象交于点 $F$，点 $F$的纵坐标为4．

（1）求反比例函数的解析式和点 $E$的坐标；

（2）求直线 $\mathit{BF}$的解析式；

（3）直接写出 $y_1>y_2$时，自变量 $x$的取值范围．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}==2$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}$， $P$是 $\mathit{BC}$边上的一点，且 $\mathit{BP}=2\mathit{CP}$．

（1）用尺规在图①中作出 $\mathit{CD}$边上的中点 $E$，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条件下，判断 $\mathit{EB}$是否平分 $\angle \mathit{AEC}$，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接 $\mathit{EP}$并延长交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{AP}$，不添加辅助线， $\mathit{\Delta PFB}$能否由都经过 $P$点的两次变换与 $\mathit{\Delta PAE}$组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

如图，点 $E$、 $F$分别是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$上一点，若 $\mathit{AE}=\mathit{DC}=2\mathit{ED}$，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{EC}$．

（1）求证：点 $F$为 $\mathit{AB}$的中点；

（2）延长 $\mathit{EF}$与 $\mathit{CB}$的延长线相交于点 $H$，连接 $\mathit{AH}$，已知 $\mathit{ED}=2$，求 $\mathit{AH}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DC}$；

（2）若 $\mathit{AC}\perp \mathit{AB}$，试判断四边形 $\mathit{ADCF}$的形状，并证明你的结论．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{DAC}$，分别交 $\mathit{DC}$， $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$， $F$；连接 $\mathit{DF}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}//\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$于点 $G$， $H$．

（1）求 $\mathit{DE}$的长；

（2）求证： $\angle 1=\angle \mathit{DFC}$．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AF}$折叠，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边上的点 $E$处，过点 $E$作 $\mathit{EG}//\mathit{CD}$交 $\mathit{AF}$于点 $G$，连接 $\mathit{DG}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{EFDG}$是菱形；

（2）探究线段 $\mathit{EG}$、 $\mathit{GF}$、 $\mathit{AF}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{EG}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线，过 $\odot O$上一点 $E$作直线 $\mathit{DC}$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于点 $D$、 $C$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{DE}·\mathit{CE}$．

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A4$的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2}:1$，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $\mathit{ABCD}$中， $P$为 $\mathit{DC}$边上一定点，且 $\mathit{CP}=\mathit{BC}$，如图所示．

（1）如图①，求证： $\mathit{BA}=\mathit{BP}$；

（2）如图②，点 $Q$在 $\mathit{DC}$上，且 $\mathit{DQ}=\mathit{CP}$，若 $G$为 $\mathit{BC}$边上一动点，当 $\mathit{\Delta AGQ}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GB}}$的值；

（3）如图③，已知 $\mathit{AD}=1$，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$， $T$为 $\mathit{BF}$的中点， $M$、 $N$分别为线段 $\mathit{PF}$与 $\mathit{AB}$上的动点，且始终保持 $\mathit{PM}=\mathit{BN}$，请证明： $\mathit{\Delta MNT}$的面积 $S$为定值，并求出这个定值．