初中数学矩形的性质解答题

（2） $\because \tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\mathit{BC}=2$，

$\therefore \mathit{AB}=\mathit{BC}·\tan \angle \mathit{ACB}=\sqrt{2}$，

$\therefore \mathit{AC}=\sqrt{6}$；

又 $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}$，

$\therefore \tan \angle \mathit{DCE}=\tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，

$\therefore \mathit{DE}=\mathit{DC}·\tan \angle \mathit{DCE}=1$；

方法一：在 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$中， $\mathit{CE}=\sqrt{C{D}^2+D{E}^2}=\sqrt{3}$，

连接 $\mathit{OE}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，则在 $\text{Rt}\Delta \text{COE}$中， $C{O}^2=O{E}^2+C{E}^2$，即 ${(\sqrt{6}-r)}^2=r^2+3$

解得： $r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $\mathit{AE}=\mathit{AD}-\mathit{DE}=1$，过点 $O$作 $\mathit{OM}\perp \mathit{AE}$于点 $M$，则 $\mathit{AM}=\frac{1}{2}\mathit{AE}=\frac{1}{2}$

在 $\text{Rt}\Delta \text{AMO}$中， $\mathit{OA}=\frac{\mathit{AM}}{\cos \angle \mathit{EAO}}=\frac{1}{2}÷\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$是它的两条切线，过 $\odot O$上一点 $E$作直线 $\mathit{DC}$，分别交 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BN}$于点 $D$、 $C$，且 $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{DE}·\mathit{CE}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别是 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$边上的点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）当 $\mathit{AC}\perp \mathit{EF}$时，四边形 $\mathit{AECF}$是菱形吗？请说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，以 $\mathit{BC}$边为直径作半圆 $O$， $\mathit{OE}\perp \mathit{OA}$交 $\mathit{CD}$边于点 $E$，对角线 $\mathit{AC}$与半圆 $O$的另一个交点为 $P$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是半圆 $O$的切线；

（2）若 $\mathit{PA}=2$， $\mathit{PC}=4$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，点 $B$落在点 $F$处， $\mathit{FC}$交 $\mathit{AD}$于 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AFE}\cong \mathit{\Delta CDE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求图中阴影部分的面积．

（1）如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{AE}\perp \mathit{BF}$于点 $M$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）如图2，将 （1）中的正方形 $\mathit{ABCD}$改为矩形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$， $\mathit{AE}\perp \mathit{BF}$于点 $M$，探究 $\mathit{AE}$与 $\mathit{BF}$的数量关系，并证明你的结论．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$， $F$在 $\mathit{BD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{COD}=60°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=12$， $\mathit{AB}=8$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点，且 $\mathit{EB}=3$， $F$是 $\mathit{BC}$上一动点，若将 $\mathit{\Delta EBF}$沿 $\mathit{EF}$对折后，点 $B$落在点 $P$处，则点 $P$到点 $D$的最短距离为　　．

矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{CE}$、 $\mathit{AF}$分别交 $\mathit{BD}$于 $G$、 $H$两点．

求证：（1）四边形 $\mathit{AFCE}$是平行四边形；

（2） $\mathit{EG}=\mathit{FH}$．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$边上的一个动点，点 $F$， $G$， $H$分别是 $\mathit{BC}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CE}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGF}\cong \mathit{\Delta FHC}$；

（2）设 $\mathit{AD}=a$，当四边形 $\mathit{EGFH}$是正方形时，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $\mathit{AB}=20$， $\mathit{BC}=10$，以 $\mathit{CD}$为一边向矩形外部作等腰直角 $\mathit{\Delta GDC}$， $\angle G=90°$．点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=a$，点 $P$沿折线 $\mathit{AD}-\mathit{DG}$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CG}$运动（与点 $G$不重合），在运动过程中始终保持线段 $\mathit{PQ}//\mathit{AB}$．设 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AB}$之间的距离为 $x$．

（1）若 $a=12$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上时，若四边形 $\mathit{AMQP}$的面积为48，则 $x$的值为　    　；

②在运动过程中，求四边形 $\mathit{AMQP}$的最大面积；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{DG}$上时，要使四边形 $\mathit{AMQP}$的面积始终不小于50，求 $a$的取值范围．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AF}=\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$，垂足为点 $E$

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{AB}$；

（2）以 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径作圆弧交 $\mathit{AF}$于点 $G$，若 $\mathit{BF}=\mathit{FC}=1$，求扇形 $\mathit{ABG}$的面积．（结果保留 $\pi )$

如图，在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$、 $C$分别在 $x$轴和 $y$轴正半轴上，点 $B$的坐标是 $(5,2)$，点 $P$是 $\mathit{CB}$边上一动点（不与点 $C$、点 $B$重合），连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$，过点 $O$作射线 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{CB}$边于点 $M$，且 $\angle \mathit{AOP}=\angle \mathit{COM}$，令 $\mathit{CP}=x$， $\mathit{MP}=y$．

（1）当 $x$为何值时， $\mathit{OP}\perp \mathit{AP}$？

（2）求 $y$与 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（3）在点 $P$的运动过程中，是否存在 $x$，使 $\mathit{\Delta OCM}$的面积与 $\mathit{\Delta ABP}$的面积之和等于 $\mathit{\Delta EMP}$的面积？若存在，请求 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

（Ⅰ）将矩形纸片沿 $\mathit{DF}$折叠，使点 $A$落在 $\mathit{CD}$边上点 $E$处，如图②；

（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 $C$再次折叠，使得点 $B$落在边 $\mathit{CD}$上点 $B\text{'}$处，如图③，两次折痕交于点 $O$；

（Ⅲ）展开纸片，分别连接 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OE}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{FD}$，如图④．

（探究）

（1）证明： $\mathit{\Delta OBC}\cong \mathit{\Delta OED}$；

（2）若 $\mathit{AB}=8$，设 $\mathit{BC}$为 $x$， $O{B}^2$为 $y$，求 $y$关于 $x$的关系式．

如图，已知 $\odot O$的半径为 $6\mathit{cm}$，射线 $\mathit{PM}$经过点 $O$， $\mathit{OP}=10\mathit{cm}$，射线 $\mathit{PN}$与 $\odot O$相切于点 $Q$． $A$、 $B$两点同时从点 $P$出发，点 $A$以 $5\mathit{cm}/s$的速度沿射线 $\mathit{PM}$方向运动，点 $B$以 $4\mathit{cm}/s$的速度沿射线 $\mathit{PN}$方向运动，设运动时间为 $\mathit{ts}$．

（1）求 $\mathit{PQ}$的长；

（2）当直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切时，求证： $\mathit{AB}\perp \mathit{PN}$；

（3）当 $t$为何值时，直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切？