初中数学矩形的性质解答题

如图，点 $E$ 、 $F$ 分别是矩形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 上的一点，且 $\mathit{DF}=\mathit{BE}$ ．求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{BC}$交 $x$轴于点 $D$， $\mathit{AD}\perp x$轴，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $A$，点 $D$的坐标为 $(3,0)$， $\mathit{AB}=\mathit{BD}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）点 $P$为 $y$轴上一动点，当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小时，求出点 $P$的坐标．

如图，点 $M$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$延长线上一点，以 $\mathit{AM}$为直径的 $\odot O$交矩形对角

线 $\mathit{AC}$于点 $F$，在线段 $\mathit{CD}$上取一点 $E$，连接 $\mathit{EF}$，使 $\mathit{EC}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $\mathit{EF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{CAD}=\frac{3}{5}$， $\mathit{AF}=6$， $\mathit{MD}=2$，求 $\mathit{FC}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，分别取 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的中点 $E$， $F$， $G$， $H$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$，求证：四边形 $\mathit{EFGH}$是菱形．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $F$．

（1）求证： $\mathit{DF}=\mathit{AB}$；

（2）若 $\angle \mathit{FDC}=30°$，且 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{AD}$．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，矩形 $\mathit{EFGH}$的一边 $\mathit{EF}$在 $\mathit{AB}$上，顶点 $G$、 $H$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{CD}$是边 $\mathit{AB}$上的高， $\mathit{CD}$交 $\mathit{GH}$于点 $I$．若 $\mathit{CI}=4$， $\mathit{HI}=3$， $\mathit{AD}=\frac{9}{2}$．矩形 $\mathit{DFGI}$恰好为正方形．

（1）求正方形 $\mathit{DFGI}$的边长；

（2）如图2，延长 $\mathit{AB}$至 $P$．使得 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$，将矩形 $\mathit{EFGH}$沿 $\mathit{BP}$的方向向右平移，当点 $G$刚好落在 $\mathit{CP}$上时，试判断移动后的矩形与 $\mathit{\Delta CBP}$重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$，将正方形 $\mathit{DFGI}$绕点 $D$顺时针旋转一定的角度得到正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$，正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$分别与线段 $\mathit{DG}$、 $\mathit{DB}$相交于点 $M$、 $N$，求 $\mathit{\Delta MNG}\text{'}$的周长．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=4$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的周长．

已知矩形 $\mathit{ABCD}$的一条边 $\mathit{AD}=8$，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使得顶点 $B$落在 $\mathit{CD}$边上的 $P$点处

（Ⅰ）如图1，已知折痕与边 $\mathit{BC}$交于点 $O$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$、 $\mathit{OA}$．若 $\mathit{\Delta OCP}$与 $\mathit{\Delta PDA}$的面积比为 $1:4$，求边 $\mathit{CD}$的长．

（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕 $\mathit{AO}$、线段 $\mathit{OP}$，连接 $\mathit{BP}$．动点 $M$在线段 $\mathit{AP}$上（点 $M$与点 $P$、 $A$不重合），动点 $N$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BN}=\mathit{PM}$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{PB}$于点 $F$，作 $\mathit{ME}\perp \mathit{BP}$于点 $E$．试问当动点 $M$、 $N$在移动的过程中，线段 $\mathit{EF}$的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段 $\mathit{EF}$的长度．

如图， 在平面直角坐标系中， 把矩形 $\mathit{OABC}$沿对角线 $\mathit{AC}$所在直线折叠， 点 $B$落在点 $D$处， $\mathit{DC}$与 $y$轴相交于点 $E$，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$， $\mathit{OA}$的长是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-12x+32=0$的两个根， 且 $\mathit{OA}>\mathit{OC}$．

（1） 求线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$的长；

（2） 求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta COE}$，并求出线段 $\mathit{OE}$的长；

（3） 直接写出点 $D$的坐标；

（4） 若 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点， 在坐标平面内是否存在点 $P$，使以点 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出 $P$点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．

如图1，已知矩形 $\mathit{AOCB}$， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=16\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $A$出发，以 $3\mathit{cm}/s$的速度向点 $O$运动，直到点 $O$为止；动点 $Q$同时从点 $C$出发，以 $2\mathit{cm}/s$的速度向点 $B$运动，与点 $P$同时结束运动．

（1）点 $P$到达终点 $O$的运动时间是　　 $s$，此时点 $Q$的运动距离是　　 $\mathit{cm}$；

（2）当运动时间为 $2s$时， $P$、 $Q$两点的距离为　　 $\mathit{cm}$；

（3）请你计算出发多久时，点 $P$和点 $Q$之间的距离是 $10\mathit{cm}$；

（4）如图2，以点 $O$为坐标原点， $\mathit{OC}$所在直线为 $x$轴， $\mathit{OA}$所在直线为 $y$轴， $1\mathit{cm}$长为单位长度建立平面直角坐标系，连接 $\mathit{AC}$，与 $\mathit{PQ}$相交于点 $D$，若双曲线 $y=\frac{k}{x}$过点 $D$，问 $k$的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 $k$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}==2$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}$， $P$是 $\mathit{BC}$边上的一点，且 $\mathit{BP}=2\mathit{CP}$．

（1）用尺规在图①中作出 $\mathit{CD}$边上的中点 $E$，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图②，在（1）的条件下，判断 $\mathit{EB}$是否平分 $\angle \mathit{AEC}$，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，连接 $\mathit{EP}$并延长交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{AP}$，不添加辅助线， $\mathit{\Delta PFB}$能否由都经过 $P$点的两次变换与 $\mathit{\Delta PAE}$组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{AF}=\mathit{DC}$；

（2）若 $\mathit{AC}\perp \mathit{AB}$，试判断四边形 $\mathit{ADCF}$的形状，并证明你的结论．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{DAC}$，分别交 $\mathit{DC}$， $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$， $F$；连接 $\mathit{DF}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}//\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$于点 $G$， $H$．

（1）求 $\mathit{DE}$的长；

（2）求证： $\angle 1=\angle \mathit{DFC}$．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．