初中数学矩形的性质试题

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，连接 $\mathit{AC}$， $\odot P$和 $\odot Q$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADC}$的内切圆，则 $\mathit{PQ}$的长是 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{2}$B． $\sqrt{5}$C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$D． $2\sqrt{2}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，延长 $\mathit{AB}$至 $E$，延长 $\mathit{CD}$至 $F$， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$，与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$分别相交于 $P$、 $Q$两点．

（1）求证： $\mathit{CP}=\mathit{AQ}$；

（2）若 $\mathit{BP}=1$， $\mathit{PQ}=2\sqrt{2}$， $\angle \mathit{AEF}=45°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，连接 $\mathit{AC}$， $\odot P$和 $\odot Q$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADC}$的内切圆，则 $\mathit{PQ}$的长是 $($　　 $)$

A． $\frac{5}{2}$B． $\sqrt{5}$C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$D． $2\sqrt{2}$

将矩形 $\mathit{ABCD}$纸片按如图所示的方式折叠， $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$为折痕，试问 $\angle \mathit{AEF}+\angle \mathit{BEG}=$　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$后得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$， $C_1{D}_1$与 $\mathit{AD}$交于点 $M$，延长 $\mathit{DA}$交 $A_1{D}_1$于 $F$，若 $\mathit{AB}=1$， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，则 $\mathit{AF}$的长度为 $($　　 $)$

A． $2-\sqrt{3}$B． $\frac{\sqrt{3}-1}{3}$C． $\frac{3-\sqrt{3}}{3}$D． $\sqrt{3}-1$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$的中点为 $O$，过点 $O$作 $\mathit{OE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{OD}$，已知 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$，则四边形 $\mathit{OECD}$的周长为　　．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$分别在 $x$轴和 $y$轴上， $\mathit{OC}=3$， $\mathit{OA}=2\sqrt{6}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点，将 $\mathit{\Delta OCD}$沿直线 $\mathit{OD}$折叠后得到 $\mathit{\Delta OGD}$，延长 $\mathit{OG}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，则点 $G$的坐标为　　．

（2） $\because \tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\mathit{BC}=2$，

$\therefore \mathit{AB}=\mathit{BC}·\tan \angle \mathit{ACB}=\sqrt{2}$，

$\therefore \mathit{AC}=\sqrt{6}$；

又 $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}$，

$\therefore \tan \angle \mathit{DCE}=\tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，

$\therefore \mathit{DE}=\mathit{DC}·\tan \angle \mathit{DCE}=1$；

方法一：在 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$中， $\mathit{CE}=\sqrt{C{D}^2+D{E}^2}=\sqrt{3}$，

连接 $\mathit{OE}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，则在 $\text{Rt}\Delta \text{COE}$中， $C{O}^2=O{E}^2+C{E}^2$，即 ${(\sqrt{6}-r)}^2=r^2+3$

解得： $r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $\mathit{AE}=\mathit{AD}-\mathit{DE}=1$，过点 $O$作 $\mathit{OM}\perp \mathit{AE}$于点 $M$，则 $\mathit{AM}=\frac{1}{2}\mathit{AE}=\frac{1}{2}$

在 $\text{Rt}\Delta \text{AMO}$中， $\mathit{OA}=\frac{\mathit{AM}}{\cos \angle \mathit{EAO}}=\frac{1}{2}÷\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

如图，矩形 $\mathit{AOCB}$的顶点 $A$、 $C$分别位于 $x$轴和 $y$轴的正半轴上，线段 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$的长度满足方程 $|x-15|+\sqrt{y-13}=0(\mathit{OA}>\mathit{OC})$，直线 $y=\mathit{kx}+b$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $M$、 $N$两点，将 $\mathit{\Delta BCN}$沿直线 $\mathit{BN}$折叠，点 $C$恰好落在直线 $\mathit{MN}$上的点 $D$处，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{3}{4}$

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求直线 $\mathit{BN}$的解析式；

（3）将直线 $\mathit{BN}$以每秒1个单位长度的速度沿 $y$轴向下平移，求直线 $\mathit{BN}$扫过矩形 $\mathit{AOCB}$的面积 $S$关于运动的时间 $t(0<t⩽13)$的函数关系式．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$， $\angle \mathit{DAC}=30°$，点 $P$、 $E$分别在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AD}$上，则 $\mathit{PE}+\mathit{PD}$的最小值是 $($　　 $)$

A．2B． $2\sqrt{3}$C．4D． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，点 $A$在第二象限，点 $D$在第一象限， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{OD}=4$，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $O$旋转，使点 $D$落在 $x$轴上，则点 $C$对应点的坐标是 $($　　 $)$

A． $(-\sqrt{3}$， $1)$B． $(-1,\sqrt{3})$

C． $(-1,\sqrt{3})$或 $(1,-\sqrt{3})$D． $(-\sqrt{3}$， $1)$或 $(1,-\sqrt{3})$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{BC}=4$，一发光电子开始置于 $\mathit{AB}$边的点 $P$处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 $\mathit{PR}$方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 $45°$，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与 $\mathit{AB}$边的碰撞次数是　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别是 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$边上的点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）当 $\mathit{AC}\perp \mathit{EF}$时，四边形 $\mathit{AECF}$是菱形吗？请说明理由．

在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点坐标为 $A(0,0)$， $B(6,0)$， $C(6,8)$， $D(0,8)$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）如图（1），双曲线 $y=\frac{k_1}{x}$过点 $E$，直接写出点 $E$的坐标和双曲线的解析式；

（2）如图（2），双曲线 $y=\frac{k_2}{x}$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$分别交于点 $M$， $N$，点 $C$关于 $\mathit{MN}$的对称点 $C\text{'}$在 $y$轴上．求证 $\mathit{\Delta CMN}~\mathit{\Delta CBD}$，并求点 $C\text{'}$的坐标；

（3）如图（3），将矩形 $\mathit{ABCD}$向右平移 $m(m>0)$个单位长度，使过点 $E$的双曲线 $y=\frac{k_3}{x}$与 $\mathit{AD}$交于点 $P$．当 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形时，求 $m$的值．