初中数学矩形的性质试题

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形 $\mathit{ABCD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha ⩽90°)$ ，得到矩形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，连结 $\mathit{BD}$ ．

$[$ 探究 $1]$ 如图1，当 $\alpha =90°$ 时，点 $C\text{'}$ 恰好在 $\mathit{DB}$ 延长线上．若 $\mathit{AB}=1$ ，求 $\mathit{BC}$ 的长．

$[$ 探究 $2]$ 如图2，连结 $\mathit{AC}\text{'}$ ，过点 $D\text{'}$ 作 $D\text{'}M//\mathit{AC}\text{'}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $M$ ．线段 $D\text{'}M$ 与 $\mathit{DM}$ 相等吗？请说明理由．

$[$ 探究 $3]$ 在探究2的条件下，射线 $\mathit{DB}$ 分别交 $\mathit{AD}\text{'}$ ， $\mathit{AC}\text{'}$ 于点 $P$ ， $N$ （如图 $3)$ ，发现线段 $\mathit{DN}$ ， $\mathit{MN}$ ， $\mathit{PN}$ 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，线段 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{GH}$ 分别平行于 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ ，它们相交于点 $P$ ，点 $P_1$ 、 $P_2$ 分别在线段 $\mathit{PF}$ 、 $\mathit{PH}$ 上， $P{P}_1=\mathit{PG}$ ， $P{P}_2=\mathit{PE}$ ，连接 $P_{1}H$ 、 $P_{2}F$ ， $P_{1}H$ 与 $P_{2}F$ 相交于点 $Q$ ．已知 $\mathit{AG}:\mathit{GD}=\mathit{AE}:\mathit{EB}=1:2$ ，设 $\mathit{AG}=a$ ， $\mathit{AE}=b$ ．

（1）四边形 $\mathit{EBHP}$ 的面积 　　四边形 $\mathit{GPFD}$ 的面积（填" $>$ "、" $=$ "或" $<$ " $)$

（2）求证：△ $P_1\mathit{FQ}\backsim$ △ $P_2\mathit{HQ}$ ；

（3）设四边形 $P{P}_{1}Q{P}_2$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $\mathit{CFQH}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值．