初中数学正方形的判定与性质解答题

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．小波把线段称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，（如图．当时，猜想的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

综合与实践

背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为，4，型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是，4，型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作 如图1，在矩形纸片中，，．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到△，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形是正方形．

（2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明，4，型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是，4，型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如果，且，求证：四边形是正方形．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（1）如图1，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．试探究 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的关系；

（2）如图2，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．若 $\mathit{BD}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AB}=2\sqrt{10}$， $\mathit{CE}=2$， $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，求 $\mathit{AF}$的长；

（3）如图3，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方，连结 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．若 $\angle \mathit{CBD}=30°$， $\angle \mathit{BAD}>15°$， $A{B}^2=6$， $A{D}^2=4+\sqrt{3}$，求 $\sin \angle \mathit{BCD}$的值．

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上的两点，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ，则 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值为 　　；

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=7$ ， $\mathit{CD}=4$ ，点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 上的一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BD}$ ，且 $\mathit{CE}\perp \mathit{BD}$ ，则 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BD}}$ 的值为 　　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=\angle B=90°$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{DE}$ 的垂线交 $\mathit{ED}$ 的延长线于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{AB}=\mathit{CF}\cdot \mathit{AD}$ ；

【拓展延伸】

（4）如图4，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{AD}=9$ ， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$ ，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{BD}$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $\mathit{\Delta CBD}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ．

①求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值；

②连接 $\mathit{BF}$ ，若 $\mathit{AE}=1$ ，写出 $\mathit{BF}$ 的长度．

已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $\odot O$ 是以直径 $\mathit{AB}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $\odot O$ 的面积为 $4\pi$ ，直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2}B{C}^2=2\mathit{BD}$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ 时， $\mathit{OD}=2\sqrt{2}$ ．

问题提出

（1）如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$．过点 $D$分别作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$．垂足分别为 $E$， $F$，则图1中与线段 $\mathit{CE}$相等的线段是　      　．

问题探究

（2）如图2， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=8$． $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{PB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{PA}}$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$． $\angle \mathit{APB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $C$，过点 $C$分别作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AP}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BP}$，垂足分别为 $E$， $F$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=70m$，点 $C$在 $\odot O$上，且 $\mathit{CA}=\mathit{CB}$． $P$为 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．过点 $P$分别作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$．按设计要求，四边形 $\mathit{PEDF}$内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $\mathit{AP}$的长为 $x\left(m\right)$，阴影部分的面积为 $y\left(m^2\right)$．

①求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $\mathit{AP}$的长度为 $30m$时，整体布局比较合理．试求当 $\mathit{AP}=30m$时．室内活动区（四边形 $\mathit{PEDF})$的面积．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $M$从点 $C$出发沿 $\mathit{CB}$方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度匀速运动，到达点 $B$停止运动，在点 $M$的运动过程中，过点 $M$作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$，且保持 $\angle \mathit{NMC}=45°$，再过点 $N$作 $\mathit{AC}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{MF}$．将 $\mathit{\Delta MNF}$关于直线 $\mathit{NF}$对称后得到 $\mathit{\Delta ENF}$，已知 $\mathit{AC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=4\mathit{cm}$，设点 $M$运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta ENF}$与 $\mathit{\Delta ANF}$重叠部分的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）在点 $M$的运动过程中，能否使得四边形 $\mathit{MNEF}$为正方形？如果能，求出相应的 $t$值；如果不能，说明理由；

（2）求 $y$关于 $t$的函数解析式及相应 $t$的取值范围；

（3）当 $y$取最大值时，求 $\sin \angle \mathit{NEF}$的值．