初中数学旋转的性质试题

如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．

①求证：△AGE≌△AFE；

②若BE＝2，DF＝3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $B(6,0)$ 和点 $C(0,-3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段 $\mathit{OC}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $30°$ 得到线段 $\mathit{OD}$ ．过点 $B$ 作射线 $\mathit{BD}$ ，点 $M$ 是射线 $\mathit{BD}$ 上一点（不与点 $B$ 重合），点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ ，连接 $\mathit{NM}$ ， $\mathit{NB}$ ．

①直接写出 $\mathit{\Delta MBN}$ 的形状为 　 　；

②设 $\mathit{\Delta MBN}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ODB}$ 的面积为是 $S_2$ ．当 $S_1=\frac{2}{3}{S}_2$ 时，求点 $M$ 的坐标；

（3）如图3，在（2）的结论下，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}\perp \mathit{BN}$ ，交 $\mathit{NM}$ 的延长线于点 $E$ ，线段 $\mathit{BE}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{BF}$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FK}//x$ 轴，交射线 $\mathit{BE}$ 于点 $K$ ， $\angle \mathit{KBF}$ 的角平分线和 $\angle \mathit{KFB}$ 的角平分线相交于点 $G$ ，当 $\mathit{BG}=2\sqrt{3}$ 时，请直接写出点 $G$ 的坐标为 　　．

如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线1于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为．

（1）　　，　　；

（2）若点在点的上方，且，求的值；

（3）将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②．

①记的面积为，的面积为，是否存在，使得点在直线的上方，且满足？若存在，求出及相应的，的值；若不存在，请说明理由．

②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、．若，直接写出直线与该二次函数图象交点的横坐标．

如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $C(6,0)$ ，顶点为 $B$ ，对称轴 $x=2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $D$ 为线段 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上任意一点， $M$ 为 $x$ 轴上一动点，连接 $\mathit{MP}$ ，以点 $M$ 为中心，将 $\mathit{\Delta MPC}$ 逆时针旋转 $90°$ ，记点 $P$ 的对应点为 $E$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ．当直线 $\mathit{EF}$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 只有一个交点时，求点 $M$ 的坐标．

（3） $\mathit{\Delta MPC}$ 在（2）的旋转变换下，若 $\mathit{PC}=\sqrt{2}$ （如图 $2)$ ．

①求证： $\mathit{EA}=\mathit{ED}$ ．

②当点 $E$ 在（1）所求的抛物线上时，求线段 $\mathit{CM}$ 的长．

如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）

（1）求点、的坐标；

（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；

（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线与轴，轴分别交于，两点，过，两点的抛物线与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，若点是线段上的一个动点（不与，重合），过点作，交于点，当的面积是时，求点的坐标；

（3）在（2）的结论下，将绕点旋转得△，试判断点是否在抛物线上，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．

（1）连结，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值；

（2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．