初中数学旋转的性质解答题

如图1，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{CD}$上任意一点，以 $\mathit{DE}$为边作正方形 $\mathit{DEFG}$，连接 $\mathit{BF}$，点 $M$是线段 $\mathit{BF}$中点，射线 $\mathit{EM}$与 $\mathit{BC}$交于点 $H$，连接 $\mathit{CM}$．

（1）请直接写出 $\mathit{CM}$和 $\mathit{EM}$的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$顺时针旋转 $45°$，此时点 $F$恰好落在线段 $\mathit{CD}$上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$顺时针旋转 $90°$，此时点 $E$、 $G$恰好分别落在线段 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．

如图 1 所示， 在四边形 $\mathit{ABCD}$中， 点 $O$， $E$， $F$， $G$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$的中点， 连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GO}$， $\mathit{GE}$．

（1） 证明： 四边形 $\mathit{OEFG}$是平行四边形；

（2） 将 $\mathit{\Delta OGE}$绕点 $O$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta OMN}$，如图 2 所示， 连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$．

①若 $\mathit{OE}=\sqrt{3}$， $\mathit{OG}=1$，求 $\frac{\mathit{EN}}{\mathit{GM}}$的值；

②试在四边形 $\mathit{ABCD}$中添加一个条件， 使 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$的长在旋转过程中始终相等 ． （不 要求证明）

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $A$点沿顺时针方向旋转得到 $\mathit{\Delta ADE}$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEC}\cong \mathit{\Delta ADB}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{BAC}=45°$，当四边形 $\mathit{ADFC}$是菱形时，求 $\mathit{BF}$的长．

已知： $\mathit{\Delta AOB}$和 $\mathit{\Delta COD}$均为等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{COD}=90°$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$，点 $H$为 $\mathit{BC}$中点，连接 $\mathit{OH}$．

（1）如图1所示，易证： $\mathit{OH}=\frac{1}{2}\mathit{AD}$且 $\mathit{OH}\perp \mathit{AD}$

（2）将 $\mathit{\Delta COD}$绕点 $O$旋转到图2，图3所示位置时，线段 $\mathit{OH}$与 $\mathit{AD}$又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．

通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，可以推理得到 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DAE}$，进而得到 $\mathit{AC}=\mathit{DE}$， $\mathit{BC}=\mathit{AE}$．

我们把这个数学模型称为“ $K$型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{BC}=2$，将斜边 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转一定的角度得到 $\mathit{AD}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{DE}=1$，连接 $\mathit{DO}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{FC}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{FB}$．求证： $F{G}^2=\mathit{GO}·\mathit{GB}$．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $A$顺时针旋转到 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$的位置，点 $E$在斜边 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{BD}$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点 $F$．

（1）如图1，若点 $F$与点 $A$重合，求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$；

（2）若 $\angle \mathit{DAF}=\angle \mathit{DBA}$，

①如图2，当点 $F$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上时，判断线段 $\mathit{AF}$与线段 $\mathit{BE}$的数量关系，并说明理由；

②当点 $F$在线段 $\mathit{CA}$上时，设 $\mathit{BE}=x$，请用含 $x$的代数式表示线段 $\mathit{AF}$．

如图，在平面直角坐标系中，直角 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点分别是 $A(-3,1)$， $B(0,3)$， $C(0,1)$

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$以点 $C$为旋转中心旋转 $180°$，画出旋转后对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）分别连接 $A{B}_1$、 $B{A}_1$后，求四边形 $A{B}_1{A}_{1}B$的面积．

如图①， $\mathit{AD}$为等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$的高，点 $A$和点 $C$分别在正方形 $\mathit{DEFG}$的边 $\mathit{DG}$和 $\mathit{DE}$上，连接 $\mathit{BG}$， $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{AE}$；

（2）将正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$旋转，当线段 $\mathit{EG}$经过点 $A$时，（如图②所示）

①求证： $\mathit{BG}\perp \mathit{GE}$；

②设 $\mathit{DG}$与 $\mathit{AB}$交于点 $M$，若 $\mathit{AG}:\mathit{AE}=3:4$，求 $\frac{\mathit{GM}}{\mathit{MD}}$的值．

数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝130°$，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图②，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝150°$， $\mathit{AB}＝3$， $\mathit{BC}＝5$，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

（3）如图③，在△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝\alpha （90°＜\alpha ＜180°）$， $\mathit{AB}＝m$， $\mathit{BC}＝n$，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度 $（0°＜2\beta ＜180°）$得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）

如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁BC₁的位置，AB与A₁C₁相交于点D，AC与A₁C₁、BC₁分别交于点E、F．

（1）求证： $△\mathit{BCF}≌△B{A}_{1}D$．

（2）当 $\angle C＝\alpha$度时，判定四边形A₁BCE的形状并说明理由．

（1）【探究发现】

如图1，∠ EOF的顶点 O在正方形 ABCD两条对角线的交点处，∠ EOF＝90°，将∠ EOF绕点 O旋转，旋转过程中，∠ EOF的两边分别与正方形 ABCD的边 BC和 CD交于点 E和点 F（点 F与点 C， D不重合）．则 CE， CF， BC之间满足的数量关系是 　 　．

（2）【类比应用】

如图2，若将（1）中的"正方形 ABCD"改为"∠ BCD＝120°的菱形 ABCD"，其他条件不变，当∠ EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．

（3）【拓展延伸】

如图3，∠ BOD＝120°， OD＝ $\frac{3}{4}$ ， OB＝4， OA平分∠ BOD， AB＝ $\sqrt{13}$ ，且 OB＞2 OA，点 C是 OB上一点，∠ CAD＝60°，求 OC的长．

如图，在矩形 ABCD中， AB＝3， BC＝4，将矩形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转α角，得到矩形 A' B' C' D'， B' C与 AD交于点 E， AD的延长线与 A' D'交于点 F．

（1）如图①，当α＝60°时，连接 DD'，求 DD'和 A' F的长；

（2）如图②，当矩形 A' B' CD'的顶点 A'落在 CD的延长线上时，求 EF的长；

（3）如图③，当 AE＝ EF时，连接 AC， CF，求 AC• CF的值．

如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．

（1）求证：△ABE≌△EGF；

（2）若AB＝2，S_△ABE＝2S_△ECF，求BE．

△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点．

（1）求过点B′的反比例函数解析式；

（2）求线段CC′的长．