初中数学旋转的性质试题

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{OC}=\mathit{OA}+\mathit{AB}$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BC}=n$， $\angle \mathit{ABD}+\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{ACB}$．

（1）填空： $\angle \mathit{BAD}$与 $\angle \mathit{ACB}$的数量关系为　 $\angle \mathit{BAD}+\angle \mathit{ACB}=180°$　；

（2）求 $\frac{m}{n}$的值；

（3）将 $\mathit{\Delta ACD}$沿 $\mathit{CD}$翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{CD}$（如图 $2)$，连接 $\mathit{BA}\text{'}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$．若 $\mathit{CD}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求 $\mathit{PC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上（点 $D$与点 $A$， $C$不重合），且 $\angle \mathit{DEC}=\angle A$，将 $\mathit{\Delta DCE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$得到△ $\mathit{DC}\text{'}E\text{'}$．当△ $\mathit{DC}\text{'}E\text{'}$的斜边、直角边与 $\mathit{AB}$分别相交于点 $P$， $Q$（点 $P$与点 $Q$不重合）时，设 $\mathit{CD}=x$， $\mathit{PQ}=y$．

（1）求证： $\angle \mathit{ADP}=\angle \mathit{DEC}$；

（2）求 $y$关于 $x$的函数解析式，并直接写出自变量 $x$的取值范围．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $O$为对角线交点，将扇形 $\mathit{AOD}$绕点 $O$顺时针旋转一定角度得到扇形 $\mathit{EOF}$，则在旋转过程中图中阴影部分的面积 $($　　 $)$

A．不变B．由大变小

C．由小变大D．先由小变大，后由大变小

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=3$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta ADE}$（其中点 $B$恰好落在 $\mathit{AC}$延长线上点 $D$处，点 $C$落在点 $E$处），连接 $\mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{AEDB}$的面积为　　．

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MC}$，点 $P$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{PC}<\mathit{BC}$，连接 $\mathit{MP}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$．将射线 $\mathit{MP}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$交线段 $\mathit{CA}$的延长线于点 $D$．

（1）找出与 $\angle \mathit{AMP}$相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $\mathit{CP}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{MD}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，求线段 $\mathit{AB}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，点 $D$为 $\mathit{BC}$边上一点， $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{DC}=2$，以点 $D$为顶点作正方形 $\mathit{DEFG}$，且 $\mathit{DE}=\mathit{BC}$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{AG}$．若将正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$旋转一周，当 $\mathit{AE}$取最小值时， $\mathit{AG}$的长为　　．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle \mathit{ACB}=30°$ ，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $C$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ 得到 $\mathit{\Delta DEC}$ ，点 $A$ 、 $B$ 的对应点分别是 $D$ 、 $E$ ．

（1）当点 $E$ 恰好在 $\mathit{AC}$ 上时，如图1，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的大小；

（2）若 $\alpha =60°$ 时，点 $F$ 是边 $\mathit{AC}$ 中点，如图2，求证：四边形 $\mathit{BEDF}$ 是平行四边形．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转一定的角度 $\alpha$得到 $\mathit{\Delta DEC}$，点 $A$、 $B$的对应点分别是 $D$、 $E$．

（1）当点 $E$恰好在 $\mathit{AC}$上时，如图1，求 $\angle \mathit{ADE}$的大小；

（2）若 $\alpha =60°$时，点 $F$是边 $\mathit{AC}$中点，如图2，求证：四边形 $\mathit{BEDF}$是平行四边形．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{AC}=8$ ．线段 $\mathit{AD}$ 由线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90°$ 得到， $\mathit{\Delta EFG}$ 由 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{CB}$ 方向平移得到，且直线 $\mathit{EF}$ 过点 $D$ ．

（1）求 $\angle \mathit{BDF}$ 的大小；

（2）求 $\mathit{CG}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{AC}=8$ ．线段 $\mathit{AD}$ 由线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90°$ 得到， $\mathit{\Delta EFG}$ 由 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{CB}$ 方向平移得到，且直线 $\mathit{EF}$ 过点 $D$ ．

（1）求 $\angle \mathit{BDF}$ 的大小；

（2）求 $\mathit{CG}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DE}//\mathit{AC}$，将 $\mathit{\Delta BDE}$绕点 $B$顺时针旋转得到△ $\mathit{BD}\text{'}E\text{'}$，点 $D$的对应点 $D\text{'}$落在边 $\mathit{BC}$上．已知 $\mathit{BE}\text{'}=5$， $D\text{'}C=4$，则 $\mathit{BC}$的长为　      　．

如图，已知 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $C$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=3\sqrt{3}$，将线段 $\mathit{AC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{AD}$，连接 $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$．

（1）线段 $\mathit{DC}=$　     　；

（2）求线段 $\mathit{DB}$的长度．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，将 $\angle \mathit{ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转一定角度后， $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$交 $\mathit{CD}$边于点 $G$．连接 $B{B}^{\text{'}}$、 $C{C}^{\text{'}}$．若 $\mathit{AD}=7$， $\mathit{CG}=4$， $A{B}^{\text{'}}=B^{\text{'}}G$，则 $\frac{C{C}^{\text{'}}}{B{B}^{\text{'}}}=$　     　（结果保留根号）．

如图，将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$按逆时针方向旋转 $45°$后得到 $\mathit{\Delta COD}$，若 $\angle \mathit{AOB}=15°$，则 $\angle \mathit{AOD}=$　   　度．

折纸的思考．

（操作体验）

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{BC})$（图①），使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 $C$落在 $\mathit{EF}$上的 $P$处，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BG}$，折出 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，得到 $\mathit{\Delta PBC}$．

（1）说明 $\mathit{\Delta PBC}$是等边三角形．

（数学思考）

（2）如图④，小明画出了图③的矩形 $\mathit{ABCD}$和等边三角形 $\mathit{PBC}$．他发现，在矩形 $\mathit{ABCD}$中把 $\mathit{\Delta PBC}$经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为 $3\mathit{cm}$，另一边长为 $\mathit{acm}$，对于每一个确定的 $a$的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $a$的取值范围．

（问题解决）

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 $4\mathit{cm}$和 $1\mathit{cm}$的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　     　 $\mathit{cm}$．