初中数学旋转的性质试题

如图1，点 $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{CD}$上任意一点，以 $\mathit{DE}$为边作正方形 $\mathit{DEFG}$，连接 $\mathit{BF}$，点 $M$是线段 $\mathit{BF}$中点，射线 $\mathit{EM}$与 $\mathit{BC}$交于点 $H$，连接 $\mathit{CM}$．

（1）请直接写出 $\mathit{CM}$和 $\mathit{EM}$的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$顺时针旋转 $45°$，此时点 $F$恰好落在线段 $\mathit{CD}$上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形 $\mathit{DEFG}$绕点 $D$顺时针旋转 $90°$，此时点 $E$、 $G$恰好分别落在线段 $\mathit{AD}$、 $\mathit{CD}$上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$分别在 $x$轴， $y$轴上，顶点 $B$在第一象限， $\mathit{AB}=1$，将线段 $\mathit{OA}$绕点 $O$按逆时针方向旋转 $60°$得到线段 $\mathit{OP}$，连接 $\mathit{AP}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过 $P$， $B$两点，则 $k$的值为　　．

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $B$逆时针旋转 $\alpha$，得到 $\mathit{\Delta EBD}$，若点 $A$恰好在 $\mathit{ED}$的延长线上，则 $\angle \mathit{CAD}$的度数为 $($　　 $)$

A． $90°-\alpha$B． $\alpha$C． $180°-\alpha$D． $2\alpha$

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$，点 $M$， $N$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上的动点（不与点 $B$， $C$， $D$重合）， $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$分别交 $\mathit{BD}$于 $E$， $F$两点，且 $\angle \mathit{MAN}=45°$，则下列结论：① $\mathit{MN}=\mathit{BM}+\mathit{DN}$；② $\mathit{\Delta AEF}\backsim \mathit{\Delta BEM}$；③ $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AM}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；④ $\mathit{\Delta FMC}$是等腰三角形．其中正确的有 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转 $150°$，得到 $\mathit{\Delta ADE}$，这时点 $B$， $C$， $D$恰好在同一直线上，则 $\angle B$的度数为　　．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$与 $x$轴相交于另一点 $A(3,0)$．直线 $l:y=x$在第一象限内和此抛物线相交于点 $B(5,t)$，与抛物线的对称轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使以点 $P$、 $O$、 $C$为顶点的三角形与以点 $A$、 $O$、 $B$为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$的坐标；

（3）直线 $l$沿着 $x$轴向右平移得到直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $M$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp x$轴于点 $E$．把 $\mathit{\Delta MEN}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E\text{'}$恰好落在抛物线上时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$，直线 $l\text{'}$与 $y$轴相交于点 $K$，把 $\mathit{\Delta MOK}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $M\text{'}\mathit{OK}\text{'}$，点 $F$为直线 $l\text{'}$上的动点．当△ $M^{\text{'}}\mathit{FK}\text{'}$为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$的坐标．

如图 1 所示， 在四边形 $\mathit{ABCD}$中， 点 $O$， $E$， $F$， $G$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$的中点， 连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GO}$， $\mathit{GE}$．

（1） 证明： 四边形 $\mathit{OEFG}$是平行四边形；

（2） 将 $\mathit{\Delta OGE}$绕点 $O$顺时针旋转得到 $\mathit{\Delta OMN}$，如图 2 所示， 连接 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$．

①若 $\mathit{OE}=\sqrt{3}$， $\mathit{OG}=1$，求 $\frac{\mathit{EN}}{\mathit{GM}}$的值；

②试在四边形 $\mathit{ABCD}$中添加一个条件， 使 $\mathit{GM}$， $\mathit{EN}$的长在旋转过程中始终相等 ． （不 要求证明）

如图，往竖直放置的在 $A$处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“ $U$”形装置中注入一定量的水，水面高度为 $6\mathit{cm}$，现将右边细管绕 $A$处顺时针方向旋转 $60°$到 $\mathit{AB}$位置，则 $\mathit{AB}$中水柱的长度约为 $($　　 $)$

A． $4\mathit{cm}$B． $6\sqrt{3}\mathit{cm}$C． $8\mathit{cm}$D． $12\mathit{cm}$

如图，点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $O$都在方格纸的格点上，若 $\mathit{\Delta COD}$是由 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为　　．

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$，点 $P$是 $\mathit{CD}$边上的任意一点（不含 $C$， $D$两端点），过点 $P$作 $\mathit{PF}//\mathit{BC}$，交对角线 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）如图1，将 $\mathit{\Delta PDF}$沿对角线 $\mathit{BD}$翻折得到 $\mathit{\Delta QDF}$， $\mathit{QF}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰三角形；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta PDF}$绕点 $D$逆时针方向旋转得到△ $P^{\text{'}}D{F}^{\text{'}}$，连接 $P^{\text{'}}C$， $F^{\text{'}}B$．设旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <180°)$．

①若 $0°<\alpha <\angle \mathit{BDC}$，即 $D{F}^{\text{'}}$在 $\angle \mathit{BDC}$的内部时，求证：△ $D{P}^{\text{'}}C\backsim$△ $D{F}^{\text{'}}B$．

②如图3，若点 $P$是 $\mathit{CD}$的中点，△ $D{F}^{\text{'}}B$能否为直角三角形？如果能，试求出此时 $\tan \angle \mathit{DB}{F}^{\text{'}}$的值，如果不能，请说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $E$为边 $\mathit{AB}$上一动点，连接 $\mathit{CE}$并将其绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$为邻边作矩形 $\mathit{CFGE}$， $\mathit{GE}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $H$、 $M$， $\mathit{GF}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $N$．

（1）证明：点 $A$、 $D$、 $F$在同一条直线上；

（2）随着点 $E$的移动，线段 $\mathit{DH}$是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{MN}$，当 $\mathit{MN}//\mathit{EF}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$是边长为 $4\mathit{cm}$的等边三角形，边 $\mathit{AB}$在射线 $\mathit{OM}$上，且 $\mathit{OA}=6\mathit{cm}$，点 $D$从 $O$点出发，沿 $\mathit{OM}$的方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度运动，当 $D$不与点 $A$重合时，将 $\mathit{\Delta ACD}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta BCE}$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形；

（2）如图2，当 $6<t<10$时， $\mathit{\Delta BDE}$的周长是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{\Delta BDE}$的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点 $D$在射线 $\mathit{OM}$上运动时，是否存在以 $D$、 $E$、 $B$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图， $C$为半圆内一点， $O$为圆心，直径 $\mathit{AB}$长为 $2\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BOC}=60°$， $\angle \mathit{BCO}=90°$，将 $\mathit{\Delta BOC}$绕圆心 $O$逆时针旋转至△ $B\text{'}\mathit{OC}\text{'}$，点 $C\text{'}$在 $\mathit{OA}$上，则边 $\mathit{BC}$扫过区域（图中阴影部分）的面积为　　 $c{m}^2$．（结果保留 $\pi )$