初中数学平行线分线段成比例解答题

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO=，tan∠AOB=，一次函数的图象过A、B两点，反比例函数的图象过OA的中点D．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数的图象，当一次函数的图象与反比例函数的图象无交点时，求b的取值范围．

近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题：

（1）求爆炸前与爆炸后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?

（黄石）已知双曲线（），直线：（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（，），B（，）（），直线：．

（1）若，求△OAB的面积S；
（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，），P在双曲线上，M在直线l₂上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（，），B（，）则A，B两点间的距离为AB=．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． $\mathit{\Delta ABC}$是边长为2的等边三角形， $E$是 $\mathit{AC}$上一点，小亮以 $\mathit{BE}$为边向 $\mathit{BE}$的右侧作等边三角形 $\mathit{BEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时， $\mathit{EF}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $D$，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，点 $F$也随着运动，若四边形 $\mathit{ABFC}$的面积为 $\frac{7}{4}\sqrt{3}$，求 $\mathit{AE}$的长．

（3）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上运动时， $\mathit{CF}$、 $\mathit{BE}$相交于点 $D$，请你探求 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1$与 $\mathit{\Delta DBF}$的面积 $S_2$之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1=\frac{\sqrt{3}}{6}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点C、D两点，与反比例函数y=的图象在第四象限相交于点P，并且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0, －6）且S_△DBP=27．

（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点Q是一次函数y=kx+3图象上的一点，且满足S_△DOQ="2" S_△COD，求点Q的坐标．

如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点A(1,3)、B(n，-1)．

（1）求这两个函数的解析式；
（2）观察图象，请直接写出不等式的解集；
（3）点C为x轴正半轴上一点，连接AO、AC，且AO=AC,求⊿AOC的面积．

我们知道，函数 $y=a{\left(x-m\right)}^2\left(a\ne 0,m>0,n>0\right)$的图像是由二次函数 $y=a{x}^2$的图像向右平移 $m$个单位，再向上平移 $n$个单位得到.类似地，函数 $y=\frac{k}{x-m}+n\left(k\ne 0,m>0,n>0\right)$的图像是由反比例函数 $y=\frac{k}{x}$理解应用像可以由函数 $y=\frac{3}{x}$的图像向右平移个单位，再

函数 $y=\frac{3}{x-1}+1$的图向上平移个单位得到，其对称中心坐标为.
灵活运用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的 $y=\frac{-4}{x}$的图像画出函数 $y=\frac{-4}{x-2}-2$的图像，并根据该图像指出，当 $x$在什么范围内变化时， $y$ $\ge -1$？
 
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究.假设刚学完新知识时的记忆存留量为1.新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为 $y_1=\frac{4}{x+4}$；若在 $x=t$（≥4）时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x变化的函数关系为 $y_2=\frac{8}{x-a}$.如果记忆存留量为 $\frac{1}{2}$时是复习的"最佳时机点"，且他第一次复习是在"最佳时机点"进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的"最佳时机点"？

如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．

（1）试判断与是否相等？并给出证明；

（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

在直角坐标系中，已知点P是反比例函数（＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与轴相切，设切点为A．
            
（1）如图1，⊙P运动到与轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答

下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？

问题：如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ ， $\angle \mathit{DAB}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BF}$ 分别与直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ， $F$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

答案： $\mathit{EF}=2$ ．

探究：（1）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ "去掉，其余条件不变．

①当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $\mathit{AB}$ 的长；

②当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $\mathit{EF}$ 的长．

（2）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ "去掉，其余条件不变，当点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$ 的值．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{FD}$， $\mathit{AF}$的延长线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $G$．

[小题1]求证： $\mathit{\Delta AFD}\backsim \mathit{\Delta GAD}$；

[小题2]如果 $D{F}^2=\mathit{CF}·\mathit{CD}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CH}$．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=90°$ ， $\mathit{OT}$ 是 $\angle \mathit{MON}$ 的平分线， $A$ 是射线 $\mathit{OM}$ 上一点， $\mathit{OA}=8\mathit{cm}$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AO}$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，也以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{ON}$ 竖直向上作匀速运动．连接 $\mathit{PQ}$ ，交 $\mathit{OT}$ 于点 $B$ ．经过 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 三点作圆，交 $\mathit{OT}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{QC}$ ．设运动时间为 $t\left(s\right)$ ，其中 $0<t<8$ ．

（1）求 $\mathit{OP}+\mathit{OQ}$ 的值；

（2）是否存在实数 $t$ ，使得线段 $\mathit{OB}$ 的长度最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形 $\mathit{OPCQ}$ 的面积．

已知一次函数y=2x-k与反比例函数的图像相交于A和B两点．,如果有一个交点A的横坐标为3，

（1）求k的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围
（4）求△AOB的面积；

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别于AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上．