初中数学相似多边形的性质试题

题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．

问题探究：
（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．
类比研究：
（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图所示），且=k（其中k＞0），请写出 线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断（仅证数量关系）．
拓展应用：
（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE²+DG²的值．

如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为,,直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t,求：

（1）直接写出A、D、P的坐标；
（2）求△HCR面积S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（4）求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值．

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积。将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为。
（1）分析与计算：
求正方形的边长；
（2）操作与求解：
①正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（＞0）的变化情况是      ；

A．逐渐增大

B．逐渐减少

C．先增大后减少

D．先减少后增大

②当正方形顶点移动到点时，求的值；
（3）探究与归纳：
设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式。

如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是＿＿

．在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ.设动点运动时间为x秒.
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在线段BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当为何值时，△EDQ为直角三角形.

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与 y 轴交于点，点的坐标为（3，0），将直线 y="kx" 沿 y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．
（1）求直线及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
（3）连结，求与两角和的度数．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C（0 , 4），D为OC的中点.
（1）求m的值；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由； 
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

在直角坐标系xOy 中，已知某二次函数的图象经过A（－4，0）、B（0，－3），与x轴的正半轴相交于点C，若△AOB∽△BOC（相似比不为1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的外接圆半径r；
（3）在线段AC上是否存在点M（m，0），使得以线段BM为直径的圆与线段AB交于N点，且以点O、A、N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

在Rt中，，，，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于点E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，且PM=PN，．

（1）如图①，当点E与点C重合时，求MP的长；
（2）设，△ENB的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最大值，最大值是多少？

如图所示，已知抛物线y=x²-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点c．

(1)求A、B、C三点的坐标．
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由。

如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折
叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

（本题10分）如图，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－ x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图1，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求COS∠QHC的值；
（3）如图2，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
 

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.

(1)填空：菱形ABCD的边长是  ▲  、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲  ；
(2)探究下列问题：
若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时
② △APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
（3）在运动过程中是否存在某一时刻使得△APQ为等腰三角形，若存在求出t的值；若不存在说明理由.

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P、Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

(1)求证：△DHQ∽△ABC；
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
(3)当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

（本题10分）已知：直角梯形OABC中，BC//OA，∠AOC＝90°，以AB为直径的OM交OC于点D、E，连结AD、BD．现以O为坐标原点，OA、OC所在直线为x轴、y轴建立如图所示直角坐标系，若抛物线y＝ax²－2ax－3a(a<0)经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．

(1)写出顶点B的坐标 ▲ （用a的代数式表示）；
(2)求抛物线的解析式：
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P作PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明理由．