初中数学相似多边形的性质解答题

在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S₁，S₂，S₃．

（1）设AF=x，试用x表示S₁与S₃的乘积S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）设=t，试用t表示EF的长；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S₂²=4S₁S₃．

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA 向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点．点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm ．当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动．设P， Q两点运动时间为t秒．

（1）当x为何值时，PQ∥BC ？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数解析式;
（3）四边形PQCB的面积与△APQ面积比为3：2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当x为何值时，△AEQ为等腰三角形？

如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题．

（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）

如图，已知矩形ABCD的边长，。某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2．5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。

（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由；
（3）BD²=AD·DF成立吗？若成立，请说明理由。

锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为．

（1）中边上高           ；
（2）当           时，恰好落在边上（如图1）；
（3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？

如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S₁．

（1）求证：∠APE=∠CFP；
（2）设四边形CMPF的面积为S₂，CF=x，．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．

（1）如图l，求证：∠EAF=∠ABD；
（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF= ∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒．

（1）求线段BC的长；
（2）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围：
（3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，?

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45⁰，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y。

（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45⁰，当y=1时，求PB·PC的值；
（3）若∠APD=90⁰，求y的最小值。

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．

（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图①，△ABC∽△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC 与△A’B’C’互为顺相似；如图②，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA与 A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC 与△A’B’C’互为逆相似。

（1）根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是        ；互为逆相似的是        。(填写所有符合要求的序号)

（2）如图③，在锐角△ABC中，ÐA<ÐB<ÐC，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。