初中数学相似多边形的性质解答题

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30．

图1                         图2                     图3
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；
②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．

（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，是半圆的直径，弦，动点、分别在线段、上，且，的延长线与射线相交于点、与弦相交于点（点与点、不重合），，．设，的面积为．

（1）求证：；
（2）求关于的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当是直角三角形时，求线段的长．

如图，∠MON=90°，A、B分别是OM、ON上的点，OB=4．点C是线段AB的中点，将线段AC以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AD，过点B作ON的垂线．
（1）当点D恰好落在垂线上时，求OA的长；
（2）过点D作DE⊥OM于点E，将（1）问中的△AOB以每秒2个单位的速度沿射线OM方向平移，记平移中的△AOB为△，当点O′与点E重合时停止平移．设平移的时间为t秒，△与△DAE重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围；
（3）在（2）问的平移过程中，若与线段交于点P，连接，，，是否存在这样的t，使△是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；

方案二：圆心O₁、O₂分别在CD、AB上，半径分别是O₁C、O₂A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．
（1）写出方案一中圆的半径；
（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．
①求y关于x的函数解析式；
②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．

(本题12分)
如图，直线与轴、轴分别交于A、B两点，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动． 动直线EF从轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥轴），并且分别与轴、线段AB交于E、F点．连结FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）当t＝1秒时，求梯形OPFE的面积；
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（3）设t的值分别取t₁、t₂时(t₁≠t₂)，所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

如图，Rt△ABC在平面直角坐标系中，BC在X轴上，B（﹣1，0）、A（0，2），AC⊥AB．

（1）求线段OC的长．
（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以个单位每秒速度向点C运 动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面 积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围．
（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G上、如果有求t值，如果没有说明理由．

（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．
求证：AD·BC=AP·BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

（本题12分）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，CD＝10．

（1）求梯形ABCD的面积；
（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC上一定点.动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动.点P出发5 s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时△BPQ的面积S（ cm²）与点P的运动时间t（s）的函数图象.

（1）CD =        ，        ；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值.

（1）问题情境：如图（1），已知，锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转，旋转过程中△MON的面积存在最小值．请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．

方法探究:小明与小亮二人一起研究，一会儿，小明说有办法了．小亮问：“怎么解决？”小明画出了图（2）的四边形，说：“四边形ABCD中，AD//BC，取DC边的中点E，连结AE并延长交BC的延长线于点F．显然有△ADE≌△FCE，则S_{四边形ABCD}=S_△ABF(S表示面积）．借助这图和图中的结论就可以解决了．”
请你照小明提供的方法完成“问题情境”这个问题．
（2）实际应用：如图（3），若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB 和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB = 70°，∠POB = 30°，OP= 4km，试求△MON 的面积．(结果精确到0.1km²)

（3）拓展延伸：如图（4），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，则其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值是               ．

如图，△ABC中，AB=AC=，cosC=．

（1）动手操作：利用尺规作以AC为直径的⊙O，并标出⊙O与AB的交点D，与BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①求证：； ②求点D到BC的距离．

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．

特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=时，a=      ，b=      ．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=      ，b=      ．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=，AB=3，求AF的长．

我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝         ，b＝          ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝         ，b＝          ；

归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²，b²，c²三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．

如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.

（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；
（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t<2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值.

如图1，已知，，．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．

（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
（3）连接，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．