初中数学计算题

某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元 $/$盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元 $/$盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元 $/$盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是　     　；

（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．

先化简，再求值： $\frac{x+3}{x-2}÷(x+2-\frac{5}{x-2})$，其中 $x=3+\sqrt{3}$．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}3x-1⩾x+1\\ x+4<4x-2\end{array}\right.$．

计算： $\sqrt{4}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}-{2017}^0$．

如图，已知二次函数 $y=\frac{4}{9}{x}^2-4$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\odot C$的半径为 $\sqrt{5}$， $P$为 $\odot C$上一动点．

（1）点 $B$， $C$的坐标分别为 $B($　    　 $)$， $C($　   　 $)$；

（2）是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{PB}$，若 $E$为 $\mathit{PB}$的中点，连接 $\mathit{OE}$，则 $\mathit{OE}$的最大值 $=$　    　．

如图，将边长为6的正三角形纸片 $\mathit{ABC}$按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$（如图①），点 $O$为其交点．

（1）探求 $\mathit{AO}$与 $\mathit{OD}$的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$， $N$分别为 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$上的动点．

①当 $\mathit{PN}+\mathit{PD}$的长度取得最小值时，求 $\mathit{BP}$的长度；

②如图③，若点 $Q$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{BQ}=1$，则 $\mathit{QN}+\mathit{NP}+\mathit{PD}$的最小值 $=$　    　．

如图①，菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $B$出发，沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CD}-\mathit{DA}$运动到点 $A$停止，动点 $Q$从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$运动到点 $B$停止，它们运动的速度相同，设点 $P$出发 $\mathit{xs}$时， $\mathit{\Delta BPQ}$的面积为 $\mathit{yc}{m}^2$．已知 $y$与 $x$之间的函数关系如图②所示，其中 $\mathit{OM}$、 $\mathit{MN}$为线段，曲线 $\mathit{NK}$为抛物线的一部分．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当 $1<x<2$时， $\mathit{\Delta BPQ}$的面积　    　（填“变”或“不变” $)$；

（2）分别求出线段 $\mathit{OM}$，曲线 $\mathit{NK}$所对应的函数表达式；

（3）当 $x$为何值时， $\mathit{\Delta BPQ}$的面积是 $5c{m}^2$？

如图，已知 $\mathit{AC}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $C$， $\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=3\sqrt{3}$，将线段 $\mathit{AC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{AD}$，连接 $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$．

（1）线段 $\mathit{DC}=$　     　；

（2）求线段 $\mathit{DB}$的长度．

（1）解方程： $\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}$

（2）解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2x>0\\ \frac{x+1}{2}>\frac{2x-1}{3}\end{array}\right.$．

计算：

（1） ${(-2)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}+{2017}^0$

（2） $(1+\frac{4}{x-2})÷\frac{x+2}{x^2-4x+4}$．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=m$，动点 $P$从点 $D$出发，在边 $\mathit{DA}$上以每秒1个单位的速度向点 $A$运动，连接 $\mathit{CP}$，作点 $D$关于直线 $\mathit{PC}$的对称点 $E$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $m=6$，求当 $P$， $E$， $B$三点在同一直线上时对应的 $t$的值．

（2）已知 $m$满足：在动点 $P$从点 $D$到点 $A$的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$，使点 $E$到直线 $\mathit{BC}$的距离等于3，求所有这样的 $m$的取值范围．

如图，以原点 $O$为圆心，3为半径的圆与 $x$轴分别交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的右边）， $P$是半径 $\mathit{OB}$上一点，过 $P$且垂直于 $\mathit{AB}$的直线与 $\odot O$分别交于 $C$， $D$两点（点 $C$在点 $D$的上方），直线 $\mathit{AC}$， $\mathit{DB}$交于点 $E$．若 $\mathit{AC}:\mathit{CE}=1:2$．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）求过点 $A$和点 $E$，且顶点在直线 $\mathit{CD}$上的抛物线的函数表达式．

某地新建的一个企业，每月将生产1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：

污水处理器型号	$A$型	$B$型
处理污水能力（吨 $/$月）	240	180

已知商家售出的2台 $A$型、3台 $B$型污水处理器的总价为44万元，售出的1台 $A$型、4台 $B$型污水处理器的总价为42万元．

（1）求每台 $A$型、 $B$型污水处理器的价格；

（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器，那么他们至少要支付多少钱？

操作：“如图1， $P$是平面直角坐标系中一点 $(x$轴上的点除外），过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，点 $C$绕点 $P$逆时针旋转 $60°$得到点 $Q$．”我们将此由点 $P$得到点 $Q$的操作称为点的 $T$变换．

（1）点 $P(a,b)$经过 $T$变换后得到的点 $Q$的坐标为　 　；若点 $M$经过 $T$变换后得到点 $N(6,-\sqrt{3})$，则点 $M$的坐标为　     　．

（2） $A$是函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x$图象上异于原点 $O$的任意一点，经过 $T$变换后得到点 $B$．

①求经过点 $O$，点 $B$的直线的函数表达式；

②如图2，直线 $\mathit{AB}$交 $y$轴于点 $D$，求 $\mathit{\Delta OAB}$的面积与 $\mathit{\Delta OAD}$的面积之比．