初中数学解答题

2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科.第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科;第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科;第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科.

（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是＿＿＿＿＿.

（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地理的概率.

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD},\mathit{AB}=12\text{cm},\mathit{AD}=10\text{cm},\odot O$与 $\mathit{AD},\mathit{AB},\mathit{BC}$三边都相切，与 $\mathit{DC}$交于点 $E,F$.已知点 $P,Q,R$分别从 $D,A,B$三点同时出发，沿矩形 $\mathit{ABCD}$的边逆时针方向匀速运动，点 $P,Q,R$的运动速度分别是 $1\text{cm}/\text{s},x\text{cm}/\text{s},1.5\text{cm}/\text{s}$，当点 $Q$到达点 $B$时停止运动， $P,R$两点同时停止运动.设运动时间为 $t$（单位: $\text{s}$）.

（1）求证: $\mathit{DE}=\mathit{CF}$;

（2）设 $x=3$，当 $△\mathit{PAQ}$与 $△\mathit{QBR}$相似时，求出 $t$的值;

（3）设 $△\mathit{PAQ}$关于直线 $\mathit{PQ}$对称的图形是 $△P{A}^{\text{'}}Q$，当 $t$和 $x$分别为何值时，点 $A^{\text{'}}$与圆心 $O$恰好重合，求出符合条件的 $t,x$的值.

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $B\left(1,0\right),C\left(4,0\right)$两点，与 $y$轴的正半轴相交于 $A$点，过 $A,B,C$三点的 $\odot P$与 $y$轴相切于点 $A$.

（1）请求出点 $A$坐标和 $\odot P$的半径;

（2）请确定抛物线的解析式;

（3） $M$为 $y$轴负半轴上的一个动点，直线 $\mathit{MB}$交 $\odot P$于点 $D$.若 $△\mathit{AOB}$与以 $A,B,D$为顶点的三角形相似，求 $\mathit{MB}\cdot \mathit{MD}$的值（先画出符合题意的示意图再求解）.

如图，锐角 $△\mathit{ABC}$中， $\angle A,\angle B,\angle C$的对边分别是 $a,b,c$，已知二次函数 $y=x^2\text{cos}A-x+\frac{1}{\text{cos}A}$的图象顶点与点 $\left(-2\text{cos}A,3\text{cos}A\right)$关于 $y$轴对称.延长 $\mathit{AB}$至 $P$点，使 $\mathit{AP}=2\mathit{AC}$，且以 $C$为圆心， $\mathit{AC}$为半径的圆与以 $B$为圆心 $\mathit{BP}$为半径的圆相外切.

（1）求 $\angle A$的度数;

（2）设 $\mathit{BP}=r$，求 $a:b:c$的值;

（3）若关于 $t$的方程 $3t^2-3\mathit{ct}+\left(a+b\right)=0$的两个根 $\alpha ,\beta$满足 $\alpha \left(\alpha +1\right)+\beta \left(\beta +1\right)=\left(\alpha +1\right)\left(\beta +1\right)$，求 $△\mathit{ABC}$的面积.

如图，已知直线 $l:y=\mathit{kx}+2(k<0)$，与 $y$轴交于点 $A$，与 $x$轴交于点 $B$，以 $\mathit{OA}$为直径的 $\odot P$交 $l$于另一点 $D$，把弧 $\mathit{AD}$沿直线 $l$翻转后与 $\mathit{OA}$交于点 $E$.

（1）当 $k=-2$时，求 $\mathit{OE}$的长;

（2）是否存在实数 $k(k<0)$，使沿直线 $l$把弧 $\mathit{AD}$翻转后所得的弧与 $\mathit{OA}$相切?若存在，请求出此时 $k$的值;若不存在，请说明理由.

如图所示，在平面直角坐标系中， $\odot O_1$与 $x$轴交于 $A\left(2,0\right),B\left(t+2,0\right)$（且 $t>0)$两点，与 $y$轴相切于点 $C,\mathit{AB}=\mathit{AC}$.

（1）求点 $C,O_1$的坐标和 $t$的值;

（2）求过点 $A,B,C$的抛物线解析式;

（3）若抛物线顶点为 $D$，判断点 $D$与 $\odot O_1$的位置关系，并求出 $△\mathit{ABD}$的外接圆半径.

如图①， $P$为第一象限内一点，过 $P,O$两点的 $\odot M$交 $x$轴正半轴于点 $A$，交 $y$轴正半轴于点 $B,\angle \mathit{OPA}={45}^{\circ }$.

（1）求证: $\mathit{PO}$平分 $\angle \mathit{APB}$;

（2）作 $\mathit{OH}\perp PA$交弦 $\mathit{PA}$于点 $H$.

①若 $\mathit{AH}=2,\mathit{OH}+\mathit{PB}=8$，求 $\mathit{BP}$的长;

②若 $\mathit{BP}=m,\mathit{OH}=n$，把 $△\mathit{POB}$沿 $y$轴翻折，得到 $△P^{\text{'}}\mathit{OB}$（如图②），求 $A{P}^{\text{'}}$的长.

如图， $\mathit{AB}$是半圆的直径，弦 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$，过点 $B$的切线交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $E,\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$.求证: $\mathit{AC}=\mathit{CF}$.

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是弧 $\mathit{AB}$的中点，延长 $\mathit{AC}$至 $D$，使 $\mathit{CD}=\mathit{AC}$，连接 $\mathit{DB}.E$是 $\mathit{OB}$的中点， $\mathit{CE}$的延长线交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $F,\mathit{AF}$交 $\odot O$于点 $H$，连接 $\mathit{BH}$.

（1）求证: $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=1$，求 $\mathit{BH}$的长.

如图所示， $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，过点 $B$作 $△\mathit{ABC}$的外接圆的切线交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，求证: $\mathit{CD}=2\mathit{BE}$.

如图所示，已知 $△\mathit{ABC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的圆交 $\mathit{AB},\mathit{AC}$于点 $D,E$，连接 $\mathit{OE},\mathit{OD},△\mathit{ADE}$的外接圆是 $G$，求证: $\mathit{OD},\mathit{OE}$都是 $\odot G$的切线.

等腰直角 $△\mathit{ABC}$和 $\odot O$如图放置，已知 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1,\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\odot O$的半径为 $1$，圆心 $O$与直线 $\mathit{AB}$的距离为5，现 $△\mathit{ABC}$以每秒2个单位的速度向右移动，同时 $△\mathit{ABC}$的边长 $\mathit{AB},\mathit{BC}$又以每秒 $0.5$个单位沿 $\mathit{BA},\mathit{BC}$方向增大.

（1）当 $△\mathit{ABC}$的边（ $\mathit{BC}$边除外）与圆第一次相切时，点 $B$移动了多少距离?

（2）若 $△\mathit{ABC}$在移动的同时， $\odot O$也以每秒 $1$个单位的速度向右移动，则 $△\mathit{ABC}$从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间?

（3）在（2）条件下，是否存在某一时刻， $△\mathit{ABC}$与 $\odot O$的公共部分等于 $\odot O$的面积?若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间?若不存在，请说明理由.

如图， $A,B$是 $\odot O$上两点，且 $\mathit{AB}=\mathit{OA}$，连接 $\mathit{OB}$并延长到点 $C$，使 $\mathit{BC}=\mathit{OB}$，连接 $\mathit{AC}$.

（1）求证: $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）点 $D,E$分别是 $\mathit{AC},\mathit{OA}$的中点， $\mathit{DE}$所在直线交 $\odot O$于点 $F,G,\mathit{OA}=4$，求 $\mathit{GF}$的长.

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$为 $\odot O$上异于 $A,B$的一动点，弦 $\mathit{AD}=5\sqrt{3},\angle \mathit{ACD}={60}^{\circ },\mathit{CA}$， $\mathit{CB}$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-\mathit{mx}+n=0$的两根，求 $m$的最大值.

如图， $H$为 $△\mathit{ABC}$的垂心， $\odot O$为 $△\mathit{ABC}$的外接圆.点 $E,F$为以 $C$为圆心， $\mathit{CH}$长为半径的圆与 $\odot O$的交点， $D$为线段 $\mathit{EF}$的垂直平分线与 $\odot O$的交点.

求证：（1） $\mathit{AC}$垂直平分线段 $\mathit{HE}$；

（2） $\mathit{DE}=\mathit{AB}$.