圆锥曲线—焦点访谈之定点定值问题1

（理科）椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.

（文科）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（3，﹣1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PA=PN，再过P作直线l′⊥MN，证明：直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标．

（理科）已知动圆C与圆相外切，与圆相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．
（Ⅰ）求轨迹T的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

（文科）已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线2x²﹣2y²=1的左、右焦点，且sinC是sinA、sinB的等差中项．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）设P（﹣2，0），M、N是轨迹T上不同两点，当PM⊥PN时，证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标．

（理科）已知顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴的抛物线上有一点，点到抛物线焦点的距离为1.
（1）求该抛物线的方程；
（2）设为抛物线上的一个定点，过作抛物线的两条互相垂直的弦,,求证：恒过定点.
（3）直线与抛物线交于,两点，在抛物线上是否存在点，使得△为以 为斜边的直角三角形.

（文科）已知抛物线：，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,.
（Ⅰ）当的坐标为时，求过三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以为直径的圆恒过点.

（理科）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.

（文科）已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.

（1）线段的中点的轨迹的方程;
（2）设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.

（理科）椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂,离心率为 ，过F₁且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. 
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF₁、PF₂,设∠F₁PF₂的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF₁,PF₂的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.

（理科）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

（理科）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（Ⅰ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（文科）已知动圆过定点A（4,0）, 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程;
（Ⅱ）已知点B（－1,0）, 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.

（文科）如图，椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率．过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．

（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（理科）已知椭圆C：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且．求证：直线过定点．