2015年全国统一高考理科数学试卷（湖北卷）

$i$为虚数单位，$i^{507}$的共轭复数为

我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（  ）

已知${\left(1+x\right)}^n$的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（   ）

设 $X~N\left({\mu }_1,{{\sigma }^2}_1\right)$ ， $Y~N\left({\mu }_2,{{\sigma }^2}_2\right)$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）

设$a_1,a_2,...a_n,n\in R$，$n\ge 3$．若$p$：$a_1,a_2,...a_n$成等比数列；$q$：$({a_1}^2+{a_2}^2+...+a_{n-1}{)}^2({a_2}^2+{a_3}^2+...+{a_n}^2)=(a_1{a}_2+a_2{a}_3+...+a_{n-1}{a}_n{)}^2$，则（   ）

已知符号函数$sgnx=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}\\ \end{array}\right.$ $f\left(x\right)$是$R$上的增函数，$g\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(ax\right)\left(a>1\right)$，则

在区间$[0,1]$上随机取两个数$x,y$，记$p_1$为事件"$x+y\ge \frac{1}{2}$"的概率，$p_2$为事件"$\left|x+y\right|\le \frac{1}{2}$"的概率，$p_3$为事件"$xy\le \frac{1}{2}$"的概率，则

将离心率为$e_1$的双曲线$C_1$的实半轴长$a$和虚半轴长$b(a\ne b)$同时增加$m(m>0)$个单位长度，得到离心率为$e_2$的双曲线$C_2$

已知集合 $A=\left\{\right(x,y\left)\right|x^2+y^2\le 1,y\in Z\}$， $B=\left\{\right(x,y\left)\right|\left|x\right|\le 2,\left|y\right|\le 2,x,y\in Z\}$，定义集合 $A\oplus B=\{x_1+x_2,y_1+y_2)\left|\right(x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$，则 $A\oplus B$中元素的个数为（   ）

设$x\in R$，$\left[x\right]$表示不超过$x$的最大整数．若存在实数$t$，使得$\left[t\right]=1$,$\left[t^2\right]=2$，…，$\left[t^n\right]=n$同时成立，则正整数$n$的最大值是（）

已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{AB}$, $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\right|=3$,则 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}·\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=$．

函数$f\left(x\right)=4{\cos }^2\frac{x}{2}\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)-2\sin x-\left|\ln \left(x+1\right)\right|$的零点个数为．

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 ${30}^{°}$ 的方向上，行驶 $600m$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 ${75}^{°}$ 的方向上，仰角为 ${30}^{°}$ ，则此山的高度 $CD=$ ．

如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T\left(1,0\right)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A,B$ （ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $\left|AB\right|=2$ ．

（Ⅰ）圆 $C$ 的标准方程为；
（Ⅱ）过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $M,N$ 两点，下列三个结论：
① $\frac{\left|NA\right|}{\left|NB\right|}=\frac{\left|MA\right|}{\left|MB\right|}$ ； ② $\frac{\left|NB\right|}{\left|NA\right|}-\frac{\left|MA\right|}{\left|MB\right|}=2$ ； ③ $\frac{\left|NB\right|}{\left|NA\right|}+\frac{\left|MA\right|}{\left|MB\right|}=2\sqrt{2}$ ．
其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）

如图， $PA$ 是圆的切线， $A$ 为切点， $PBC$ 是圆的割线，且 $BC=3PB$ ，则 $\frac{AB}{AC}=$ ．

在直角坐标系$xOy$中，以$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线$l$的极坐标方程为$\rho (\sin \theta -3\cos \theta )=0$，曲线$C$的参数方程为$\{\begin{array}{c}x=t-\frac{1}{t}\\ y=t+\frac{1}{t}\end{array}$  ( $t$为参数) ，$l$与$C$相交于$A,B$两点，则$\left|AB\right|=$．

某同学用"五点法"画函数 $f\left(x\right)=A\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 $f\left(x\right)$ 的解析式；
（Ⅱ）将 $y=f\left(x\right)$ 图象上所有点向左平行移动 $\theta (\theta >0)$ 个单位长度，得到 $y=g\left(x\right)$ 的图象．若 $y=g\left(x\right)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5\pi }{12},0)$ ，求 $\theta$ 的最小值．

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $d$,前 $n$项和为 $S_n$,等比数列 $\left\{b_n\right\}$的公比为 $q$.已知 $b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_{10}=100$．
(Ⅰ)求数列，的通项公式；
(Ⅱ)当 $d>1$时,记 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$,求数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$．

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ ，且 $PD=CD$ ，过棱 $PC$ 的中点 $E$ ，作 $EF\perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$ ，连接 $DE,DF,BD,BE$ .

（Ⅰ）证明： $PB\perp \mathrm{平面}DEF$ ．试判断四面体 $DBEF$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面 $DEF$ 与面 $ABCD$ 所成二面角的大小为 $\frac{\pi }{3}$ ，求 $\frac{DC}{BC}$ 的值．

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A,B$ 两种奶制品．生产1吨 $A$ 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨 $B$ 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的2倍，设备每天生产 $A,B$ 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$ （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$ （单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求 $Z$ 的分布列和均值；
（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

一种作图工具如图1所示．$O$是滑槽$AB$的中点，短杆$ON$可绕$O$转动，长杆$MN$通过$N$处铰链与$ON$连接，$MN$上的栓子$D$可沿滑槽$AB$滑动，且$DN=ON=1$，$MN=3$．当栓子$D$在滑槽$AB$内作往复运动时，带动$N$绕$O$转动一周（$D$不动时，$N$也不动），$M$处的笔尖画出的曲线记为$C$．以$O$为原点，$AB$所在的直线为$x$轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线$C$的方程；
（Ⅱ）设动直线$l$与两定直线$l_1:x-2y=0$和$l_2:x+2y=0$分别交于$P,Q$两点．若直线$l$总与曲线$C$有且只有一个公共点，试探究：$△OQP$的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

已知数列$\left\{a_n\right\}$的各项均为正数，$b_n=n(1+\frac{1}{n})a_n,(n\in N_{+})$，$e$为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)=1+x-e^x$的单调区间，并比较$(1+\frac{1}{n}{)}^n$与$e$的大小；
（Ⅱ）计算$\frac{b_1}{a_1},\frac{b_1{b}_2}{a_1{a}_2},\frac{b_1{b}_2{b}_3}{a_1{a}_2{a}_3}$，由此推测计算$\frac{b_1{b}_2...b_n}{a_1{a}_2...a_n}$的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令$c_n=(a_1{a}_2...a_n{)}^{\frac{1}{n}}$，数列$\left\{a_n\right\}$，$\left\{c_n\right\}$的前$n$项和分别记为$S_n,T_n$, 证明：$T_n<e{S}_n$．