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2015年全国统一高考理科数学试卷(湖北卷)

i为虚数单位,i507的共轭复数为

i B.- i 1 -1
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我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(  )

A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石
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已知1+xn的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(   )

A. 212 B. 211 C. 210 D. 29
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X ~ N μ 1 , σ 2 1 Y ~ N μ 2 , σ 2 2 ,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()

image.png

A. P Y μ 2 P Y μ 1
B. P X σ 2 P X σ 1
C. 对任意正数 t P X t P Y t
D. 对任意正数 t P X t P Y t
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a1,a2,...an,nRn3.若pa1,a2,...an成等比数列;q(a12+a22+...+an-1)2(a22+a32+...+an2)=(a1a2+a2a3+...+an-1an)2,则(   )

A. pq的充分条件,但不是 q的必要条件
B. pq的必要条件,但不是 q的充分条件
C. pq的充分必要条件
D. p既不是 q的充分条件,也不是 q的必要条件
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已知符号函数sgnx=1,x>00,x=0-1,x<0 fxR上的增函数,gx=fx-faxa>1,则

sgngx=sgnx sgngx=-sgnx sgngx=sgnfx sgngx=-sgnfx
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在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件"x+y12"的概率,p2为事件"x+y12"的概率,p3为事件"xy12"的概率,则

p1<p2<p3 p2<p3<p1 p3<p1<p2 p3<p2<p1
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将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2

A. 对任意的 a,b,e1>e2
B.a>b时, e1>e2;当 a<b时, e1<e2
C. 对任意的 a,be1<e2
D.a>b时, e1<e2;当 a<b时, e1>e2
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已知集合 A = { ( x , y ) | x 2 + y 2 1 , y Z } B = { ( x , y ) | x 2 , y 2 , x , y Z } ,定义集合 A B = { x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) | ( x 1 , y 1 ) A , ( x 2 , y 2 ) B } ,则 A B 中元素的个数为(   )

77 49 45 30
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xRx表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得t=1,t2=2,…,tn=n同时成立,则正整数n的最大值是(

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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已知向量 O A A B , O A = 3 ,则 O A · O B =

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函数fx=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-lnx+1的零点个数为

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如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 ° 的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 ° 的方向上,仰角为 30 ° ,则此山的高度 C D =

image.png

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如图,圆 C x 轴相切于点 T 1 , 0 ,与 y 轴正半轴交于两点 A , B B A 的上方),且 A B = 2

image.png

(Ⅰ)圆 C 的标准方程为;
(Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 + y 2 = 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论:
N A N B = M A M B ; ② N B N A - M A M B = 2 ; ③ N B N A + M A M B = 2 2
其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)

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如图, P A 是圆的切线, A 为切点, P B C 是圆的割线,且 B C = 3 P B ,则 A B A C =

image.png

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在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ-3cosθ)=0,曲线C的参数方程为{x=t-1ty=t+1t  ( t为参数) ,lC相交于A,B两点,则AB=

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某同学用"五点法"画函数 f ( x ) = A sin ( ω x + φ ) ( ω > 0 , φ < π 2 ) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

image.png

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式;
(Ⅱ)将 y = f ( x ) 图象上所有点向左平行移动 θ ( θ > 0 ) 个单位长度,得到 y = g ( x ) 的图象.若 y = g ( x ) 图象的一个对称中心为 ( 5 π 12 , 0 ) ,求 θ 的最小值.

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设等差数列 a n 的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,等比数列 b n 的公比为 q .已知 b 1 = a 1 , b 2 = 2 , q = d , S 10 = 100
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)当 d > 1 时,记 c n = a n b n ,求数列 c n 的前 n 项和 T n

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《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马 P - A B C D 中,侧棱 P D 底面 A B C D ,且 P D = C D ,过棱 P C 的中点 E ,作 E F P B P B 于点 F ,连接 D E , D F , B D , B E .

image.png

(Ⅰ)证明: P B 平面 D E F .试判断四面体 D B E F 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面 D E F 与面 A B C D 所成二面角的大小为 π 3 ,求 D C B C 的值.

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某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A , B 两种奶制品.生产1吨 A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨 B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的2倍,设备每天生产 A , B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量 W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单位:元)是一个随机变量.

image.png

(Ⅰ)求 Z 的分布列和均值;
(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

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一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动NO转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:OQP的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

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已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+1n)an,(nN+)e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数f(x)=1+x-ex的单调区间,并比较(1+1n)ne的大小;
(Ⅱ)计算b1a1,b1b2a1a2,b1b2b3a1a2a3,由此推测计算b1b2...bna1a2...an的公式,并给出证明;
(Ⅲ)令cn=(a1a2...an)1n,数列{an}{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn, 证明:Tn<eSn

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