2019年吉林省中考数学试卷

如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为 $($ 　　 $)$

如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为 $($ 　　 $)$

若 $a$ 为实数，则下列各式的运算结果比 $a$ 小的是 $($ 　　 $)$

把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\odot O$ 中， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 所对的圆周角 $\angle \mathit{ACB}=50°$ ，若 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上一点， $\angle \mathit{AOP}=55°$ ，则 $\angle \mathit{POB}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图， $A$ 、 $B$ 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是 $($ 　　 $)$

分解因式：$a^2-1=$　　．

不等式$3x-2>1$的解集是　　．

计算：$\frac{y}{2x^2}·\frac{x}{y}=$　　．

若关于$x$的一元二次方程${(x+3)}^2=c$有实数根，则$c$的值可以为　　（写出一个即可）．

如图，$E$为$\mathit{\Delta ABC}$边$\mathit{CA}$延长线上一点，过点$E$作$\mathit{ED}//\mathit{BC}$．若$\angle \mathit{BAC}=70°$，$\angle \mathit{CED}=50°$，则$\angle B=$　　$°$．

如图，在四边形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=10$，$\mathit{BD}\perp \mathit{AD}$．若将$\mathit{\Delta BCD}$沿$\mathit{BD}$折叠，点$C$与边$\mathit{AB}$的中点$E$恰好重合，则四边形$\mathit{BCDE}$的周长为　　．

在某一时刻，测得一根高为$1.8m$的竹竿的影长为$3m$，同时同地测得一栋楼的影长为$90m$，则这栋楼的高度为　　$m$．

如图，在扇形$\mathit{OAB}$中，$\angle \mathit{AOB}=90°$．$D$，$E$分别是半径$\mathit{OA}$，$\mathit{OB}$上的点，以$\mathit{OD}$，$\mathit{OE}$为邻边的$▱\mathit{ODCE}$的顶点$C$在$\widehat{\mathit{AB}}$上．若$\mathit{OD}=8$，$\mathit{OE}=6$，则阴影部分图形的面积是　　（结果保留$\pi )$．

先化简，再求值： ${(a-1)}^2+a(a+2)$ ，其中 $a=\sqrt{2}$ ．

甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．

已知$y$是$x$的反比例函数，并且当$x=2$时，$y=6$．

（1）求$y$关于$x$的函数解析式；

（2）当$x=4$时，求$y$的值．

如图，在$▱\mathit{ABCD}$中，点$E$在边$\mathit{AD}$上，以$C$为圆心，$\mathit{AE}$长为半径画弧，交边$\mathit{BC}$于点$F$，连接$\mathit{BE}$、$\mathit{DF}$．求证：$\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$．

图①，图②均为$4\times 4$的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段$\mathit{AB}$，在图②中已画出线段$\mathit{CD}$，其中$A$、$B$、$C$、$D$均为格点，按下列要求画图：

（1）在图①中，以$\mathit{AB}$为对角线画一个菱形$\mathit{AEBF}$，且$E$，$F$为格点；

（2）在图②中，以$\mathit{CD}$为对角线画一个对边不相等的四边形$\mathit{CGDH}$，且$G$，$H$为格点，$\angle \mathit{CGD}=\angle \mathit{CHD}=90°$．

问题解决

糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

反思归纳

现有$a$根竹签，$b$个山楂．若每根竹签串$c$个山楂，还剩余$d$个山楂，则下列等式成立的是　　（填写序号）．

（1）$\mathit{bc}+d=a$；（2）$\mathit{ac}+d=b$；（3）$\mathit{ac}-d=b$．

墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座$A$与地面的距离$\mathit{AB}$为$170\mathit{cm}$，花洒$\mathit{AC}$的长为$30\mathit{cm}$，与墙壁的夹角$\angle \mathit{CAD}$为$43°$．求花洒顶端$C$到地面的距离$\mathit{CE}$（结果精确到$1\mathit{cm})$．（参考数据：$\sin 43°=0.68$，$\cos 43°=0.73$，$\tan 43°=0.93)$

某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”．

（1）该机构设计了以下三种调查方案：

方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；

方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；

方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．

其中最具有代表性的一个方案是　　；

（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：

①这次接受调查的居民人数为　　人；

②统计图中人数最多的选项为　　；

③请你估计该地区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数．

甲、乙两车分别从$A$，$B$两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到$B$地，乙车立即以原速原路返回到$B$地．甲、乙两车距$B$地的路程$y\left(\mathit{km}\right)$与各自行驶的时间$x\left(h\right)$之间的关系如图所示．

（1）$m=$　　，$n=$　　；

（2）求乙车距$B$地的路程$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围；

（3）当甲车到达$B$地时，求乙车距$B$地的路程．

性质探究

如图①，在等腰三角形$\mathit{ABC}$中，$\angle \mathit{ACB}=120°$，则底边$\mathit{AB}$与腰$\mathit{AC}$的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为$120°$的等腰三角形的周长为$8+4\sqrt{3}$，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形$\mathit{EFGH}$中，$\mathit{EF}=\mathit{EG}=\mathit{EH}$．

①求证：$\angle \mathit{EFG}+\angle \mathit{EHG}=\angle \mathit{FGH}$；

②在边$\mathit{FG}$，$\mathit{GH}$上分别取中点$M$，$N$，连接$\mathit{MN}$．若$\angle \mathit{FGH}=120°$，$\mathit{EF}=10$，直接写出线段$\mathit{MN}$的长．

类比拓展

顶角为$2\alpha$的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含$\alpha$的式子表示）．

如图，在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AD}=4\mathit{cm}$，$\mathit{AB}=3\mathit{cm}$，$E$为边$\mathit{BC}$上一点，$\mathit{BE}=\mathit{AB}$，连接$\mathit{AE}$．动点$P$、$Q$从点$A$同时出发，点$P$以$\sqrt{2}\mathit{cm}/s$的速度沿$\mathit{AE}$向终点$E$运动；点$Q$以$2\mathit{cm}/s$的速度沿折线$\mathit{AD}-\mathit{DC}$向终点$C$运动．设点$Q$运动的时间为$x\left(s\right)$，在运动过程中，点$P$，点$Q$经过的路线与线段$\mathit{PQ}$围成的图形面积为$y\left(c{m}^2\right)$．

（1）$\mathit{AE}=$　　$\mathit{cm}$，$\angle \mathit{EAD}=$　　$°$；

（2）求$y$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围；

（3）当$\mathit{PQ}=\frac{5}{4}\mathit{cm}$时，直接写出$x$的值．

如图，抛物线$y={(x-1)}^2+k$与$x$轴相交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴相交于点$C(0,-3)$．$P$为抛物线上一点，横坐标为$m$，且$m>0$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点$P$位于$x$轴下方时，求$\mathit{\Delta ABP}$面积的最大值；

（3）设此抛物线在点$C$与点$P$之间部分（含点$C$和点$P)$最高点与最低点的纵坐标之差为$h$．

①求$h$关于$m$的函数解析式，并写出自变量$m$的取值范围；

②当$h=9$时，直接写出$\mathit{\Delta BCP}$的面积．