2019年山西省中考数学试卷

$-3$ 的绝对值是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"点"字所在面相对面上的汉字是 $($ 　　 $)$

下列二次根式是最简二次根式的是 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle A=30°$ ，直线 $a//b$ ，顶点 $C$ 在直线 $b$ 上，直线 $a$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 与点 $E$ ，若 $\angle 1=145°$ ，则 $\angle 2$ 的度数是 $($ 　　 $)$

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}x-1>3\\ 2-2x<4\end{array}\right.$ 的解集是 $($ 　　 $)$

五台山景区空气清爽，景色宜人．"五一"小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季168元 $/$ 人．以此计算，"五一"小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示 $($ 　　 $)$

一元二次方程 $x^2-4x-1=0$ 配方后可化为 $($ 　　 $)$

北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图 $1)$ ，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象 $-$ 抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 $A$ ， $B$ 两点．拱高为78米（即最高点 $O$ 到 $\mathit{AB}$ 的距离为78米），跨径为90米（即 $\mathit{AB}=90$ 米），以最高点 $O$ 为坐标原点，以平行于 $\mathit{AB}$ 的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$ ， $\mathit{BC}=2$ ，以 $\mathit{AB}$ 的中点 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径作半圆交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

化简$\frac{2x}{x-1}-\frac{x}{1-x}$的结果是　　．

要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是　　．

如图，在一块长$12m$，宽$8m$的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为$77m^2$，设道路的宽为$\mathit{xm}$，则根据题意，可列方程为　　．

如图，在平面直角坐标中，点$O$为坐标原点，菱形$\mathit{ABCD}$的顶点$B$在$x$轴的正半轴上，点$A$坐标为$(-4,0)$，点$D$的坐标为$(-1,4)$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象恰好经过点$C$，则$k$的值为　　．

如图，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\angle \mathit{BAC}=90°$，$\mathit{AB}=\mathit{AC}=10\mathit{cm}$，点$D$为$\mathit{\Delta ABC}$内一点，$\angle \mathit{BAD}=15°$，$\mathit{AD}=6\mathit{cm}$，连接$\mathit{BD}$，将$\mathit{\Delta ABD}$绕点$A$按逆时针方向旋转，使$\mathit{AB}$与$\mathit{AC}$重合，点$D$的对应点为点$E$，连接$\mathit{DE}$，$\mathit{DE}$交$\mathit{AC}$于点$F$，则$\mathit{CF}$的长为　　$\mathit{cm}$．

（1）计算： $\sqrt{27}+{(-\frac{1}{2})}^{-2}-3\tan 60°+{(\pi -\sqrt{2})}^0$ ．

（2）解方程组： $\left\{\begin{array}{c}3x-2y=-8,①\\ x+2y=0,②\end{array}\right.$

已知：如图，点$B$，$D$在线段$\mathit{AE}$上，$\mathit{AD}=\mathit{BE}$，$\mathit{AC}//\mathit{EF}$，$\angle C=\angle F$．求证：$\mathit{BC}=\mathit{DF}$．

中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：

（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）．

（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可）．

（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母$A$，$B$，$C$，$D$表示．现把分别印有$A$，$B$，$C$，$D$的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“$A$”和“$B$”的概率．

某游泳馆推出了两种收费方式．

方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．

方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．

设小亮在一年内来此游泳馆的次数为$x$次，选择方式一的总费用为$y_1$（元$)$，选择方式二的总费用为$y_2$（元$)$．

（1）请分别写出$y_1$，$y_2$与$x$之间的函数表达式．

（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数$x$在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．

某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

任务一：两次测量$A$，$B$之间的距离的平均值是　　$m$．

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆$\mathit{GH}$的高度．

（参考数据：$\sin 25.7°\approx 0.43$，$\cos 25.7°\approx 0.90$，$\tan 25.7°\approx 0.48$，$\sin 31°\approx 0.52$，$\cos 31°\approx 0.86$，$\tan 31°\approx 0.60)$

任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德$·$欧拉$\left(\mathit{LeonhardEuler}\right)$是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在$\mathit{\Delta ABC}$中，$R$和$r$分别为外接圆和内切圆的半径，$O$和$I$分别为其中外心和内心，则$O{I}^2=R^2-2\mathit{Rr}$．

如图1，$\odot O$和$\odot I$分别是$\mathit{\Delta ABC}$的外接圆和内切圆，$\odot I$与$\mathit{AB}$相切分于点$F$，设$\odot O$的半径为$R$，$\odot I$的半径为$r$，外心$O$（三角形三边垂直平分线的交点）与内心$I$（三角形三条角平分线的交点）之间的距离$\mathit{OI}=d$，则有$d^2=R^2-2\mathit{Rr}$．

下面是该定理的证明过程（部分）$:$

延长$\mathit{AI}$交$\odot O$于点$D$，过点$I$作$\odot O$的直径$\mathit{MN}$，连接$\mathit{DM}$，$\mathit{AN}$．

$\because \angle D=\angle N$，$\angle \mathit{DMI}=\angle \mathit{NAI}$（同弧所对的圆周角相等）．

$\therefore \mathit{\Delta MDI}\backsim \mathit{\Delta ANI}$．$\therefore \frac{\mathit{IM}}{\mathit{IA}}=\frac{\mathit{ID}}{\mathit{IN}}$，$\therefore \mathit{IA}·\mathit{ID}=\mathit{IM}·\mathit{IN}$，①

如图2，在图1（隐去$\mathit{MD}$，$\mathit{AN})$的基础上作$\odot O$的直径$\mathit{DE}$，连接$\mathit{BE}$，$\mathit{BD}$，$\mathit{BI}$，$\mathit{IF}$．

$\because \mathit{DE}$是$\odot O$的直径，所以$\angle \mathit{DBE}=90°$．

$\because \odot I$与$\mathit{AB}$相切于点$F$，所以$\angle \mathit{AFI}=90°$，

$\therefore \angle \mathit{DBE}=\angle \mathit{IFA}$．

$\because \angle \mathit{BAD}=\angle E$（同弧所对的圆周角相等），

$\therefore \mathit{\Delta AIF}\backsim \mathit{\Delta EDB}$，

$\therefore \frac{\mathit{IA}}{\mathit{DE}}=\frac{\mathit{IF}}{\mathit{BD}}$．

$\therefore \mathit{IA}·\mathit{BD}=\mathit{DE}·\mathit{IF}$②

任务：（1）观察发现：$\mathit{IM}=R+d$，$\mathit{IN}=$　$R-d$　（用含$R$，$d$的代数式表示）；

（2）请判断$\mathit{BD}$和$\mathit{ID}$的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若$\mathit{\Delta ABC}$的外接圆的半径为$5\mathit{cm}$，内切圆的半径为$2\mathit{cm}$，则$\mathit{\Delta ABC}$的外心与内心之间的距离为　　$\mathit{cm}$．

综合与实践

动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片$\mathit{ABCD}$沿对角线$\mathit{AC}$所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点$C$的直线折叠，使点$B$，点$D$都落在对角线$\mathit{AC}$上．此时，点$B$与点$D$重合，记为点$N$，且点$E$，点$N$，点$F$三点在同一条直线上，折痕分别为$\mathit{CE}$，$\mathit{CF}$．如图2．

第二步：再沿$\mathit{AC}$所在的直线折叠，$\mathit{\Delta ACE}$与$\mathit{\Delta ACF}$重合，得到图3．

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点$C$与点$F$重合，如图4，展开铺平，连接$\mathit{EF}$，$\mathit{FG}$，$\mathit{GM}$，$\mathit{ME}$．如图5，图中的虚线为折痕．

问题解决：

（1）在图5中，$\angle \mathit{BEC}$的度数是　　，$\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}$的值是　　．

（2）在图5中，请判断四边形$\mathit{EMGF}$的形状，并说明理由；

（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：　　．

综合与探究

如图，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+6$经过点$A(-2,0)$，$B(4,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，点$D$是抛物线上一个动点，设点$D$的横坐标为$m(1<m<4)$．连接$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$，$\mathit{DB}$，$\mathit{DC}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）$\mathit{\Delta BCD}$的面积等于$\mathit{\Delta AOC}$的面积的$\frac{3}{4}$时，求$m$的值；

（3）在（2）的条件下，若点$M$是$x$轴上一动点，点$N$是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点$M$，使得以点$B$，$D$，$M$，$N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由．