2019年湖南省益阳市中考数学试卷

$-6$ 的倒数是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是 $($ 　　 $)$

解分式方程 $\frac{x}{2x-1}+\frac{2}{1-2x}=3$ 时，去分母化为一元一次方程，正确的是 $($ 　　 $)$

下列函数中， $y$ 总随 $x$ 的增大而减小的是 $($ 　　 $)$

已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是 $($ 　　 $)$

已知 $M$ 、 $N$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的两点， $\mathit{AM}=\mathit{MN}=2$ ， $\mathit{NB}=1$ ，以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AN}$ 长为半径画弧；再以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BM}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 一定是 $($ 　　 $)$

南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 $A$ 测得大桥主架与水面的交汇点 $C$ 的俯角为 $\alpha$ ，大桥主架的顶端 $D$ 的仰角为 $\beta$ ，已知测量点与大桥主架的水平距离 $\mathit{AB}=a$ ，则此时大桥主架顶端离水面的高 $\mathit{CD}$ 为 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{PA}$ 、 $\mathit{PB}$ 为圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ， $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $C$ ， $\mathit{PO}$ 的延长线交圆 $O$ 于点 $D$ ，下列结论不一定成立的是 $($ 　　 $)$

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象如图所示，下列结论：① $\mathit{ac}<0$ ，② $b-2a<0$ ，③ $b^2-4\mathit{ac}<0$ ，④ $a-b+c<0$ ，正确的是 $($ 　　 $)$

国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快速收费$\left(\mathit{ETC}\right)$用户数量将突破1.8亿，将180 000 000科学记数法表示为　　．

若一个多边形的内角和与外角和之和是$900°$，则该多边形的边数是　　．

不等式组$\left\{\begin{array}{c}x-1<0\\ -x>3\end{array}\right.$的解集为　　．

如图，直线$\mathit{AB}//\mathit{CD}$，$\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$，若$\angle 1=142°$，则$\angle 2=$　　度．

在如图所示的方格纸$(1$格长为1个单位长度）中，$\mathit{\Delta ABC}$的顶点都在格点上，将$\mathit{\Delta ABC}$绕点$O$按顺时针方向旋转得到△$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　　．

小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是　　．

反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上有一点$P(2,n)$，将点$P$向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点$Q$，若点$Q$也在该函数的图象上，则$k=$　　．

观察下列等式：

①$3-2\sqrt{2}={(\sqrt{2}-1)}^2$，

②$5-2\sqrt{6}={(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^2$，

③$7-2\sqrt{12}={(\sqrt{4}-\sqrt{3})}^2$，

$\dots$

请你根据以上规律，写出第6个等式　                   　．

计算：$4\sin 60°+{(-2019)}^0-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}+|-2\sqrt{3}|$．

化简：$(\frac{x^2+4}{x}-4)÷\frac{x^2-4}{2x}$．

已知，如图，$\mathit{AB}=\mathit{AE}$，$\mathit{AB}//\mathit{DE}$，$\angle \mathit{ECB}=70°$，$\angle D=110°$，求证：$\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta EAD}$．

某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为$A$、$B$、$C$、$D$、$E$，由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表．

（1）求本次调查的小型汽车数量及$m$，$n$的值；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量．

如图，在$\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，$M$是斜边$\mathit{AB}$的中点，以$\mathit{CM}$为直径作圆$O$交$\mathit{AC}$于点$N$，延长$\mathit{MN}$至$D$，使$\mathit{ND}=\mathit{MN}$，连接$\mathit{AD}$、$\mathit{CD}$，$\mathit{CD}$交圆$O$于点$E$．

（1）判断四边形$\mathit{AMCD}$的形状，并说明理由；

（2）求证：$\mathit{ND}=\mathit{NE}$；

（3）若$\mathit{DE}=2$，$\mathit{EC}=3$，求$\mathit{BC}$的长．

为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾$·$稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾$·$稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润$=$售价$-$成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降$25\%$，售价下降$10\%$，出售小龙虾每千克获得利润为30元．

（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元$/$亩，稻谷售价为2.5元$/$千克，该农户估计今年可获得“虾$·$稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？

在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，顶点为$A$的抛物线与$x$轴交于$B$、$C$两点，与$y$轴交于点$D$，已知$A(1,4)$，$B(3,0)$．

（1）求抛物线对应的二次函数表达式；

（2）探究：如图1，连接$\mathit{OA}$，作$\mathit{DE}//\mathit{OA}$交$\mathit{BA}$的延长线于点$E$，连接$\mathit{OE}$交$\mathit{AD}$于点$F$，$M$是$\mathit{BE}$的中点，则$\mathit{OM}$是否将四边形$\mathit{OBAD}$分成面积相等的两部分？请说明理由；

（3）应用：如图2，$P(m,n)$是抛物线在第四象限的图象上的点，且$m+n=-1$，连接$\mathit{PA}$、$\mathit{PC}$，在线段$\mathit{PC}$上确定一点$N$，使$\mathit{AN}$平分四边形$\mathit{ADCP}$的面积，求点$N$的坐标．

提示：若点$A$、$B$的坐标分别为$(x_1$，$y_1)$、$(x_2$，$y_2)$，则线段$\mathit{AB}$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2}$，$\frac{y_1+y_2}{2})$．

如图，在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，矩形$\mathit{ABCD}$的边$\mathit{AB}=4$，$\mathit{BC}=6$．若不改变矩形$\mathit{ABCD}$的形状和大小，当矩形顶点$A$在$x$轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点$D$始终在$y$轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当$\angle \mathit{OAD}=30°$时，求点$C$的坐标；

（2）设$\mathit{AD}$的中点为$M$，连接$\mathit{OM}$、$\mathit{MC}$，当四边形$\mathit{OMCD}$的面积为$\frac{21}{2}$时，求$\mathit{OA}$的长；

（3）当点$A$移动到某一位置时，点$C$到点$O$的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时$\cos \angle \mathit{OAD}$的值．