2020年湖南省湘西州中考数学试卷

下列各数中，比 $-2$ 小的数是 $($ 　　 $)$

2019年中国与"一带一路"沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元，用科学记数法表示92700是 $($ 　　 $)$

下列运算正确的是 $($ 　　 $)$

如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是 $($ 　　 $)$

从长度分别为 $1\mathit{cm}$ 、 $3\mathit{cm}$ 、 $5\mathit{cm}$ 、 $6\mathit{cm}$ 四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为 $($ 　　 $)$

已知 $\angle \mathit{AOB}$ ，作 $\angle \mathit{AOB}$ 的平分线 $\mathit{OM}$ ，在射线 $\mathit{OM}$ 上截取线段 $\mathit{OC}$ ，分别以 $O$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{OC}$ 的长为半径画弧，两弧相交于 $E$ ， $F$ ．画直线 $\mathit{EF}$ ，分别交 $\mathit{OA}$ 于 $D$ ，交 $\mathit{OB}$ 于 $G$ ．那么 $\mathit{\Delta ODG}$ 一定是 $($ 　　 $)$

已知正比例函数 $y_1$ 的图象与反比例函数 $y_2$ 的图象相交于点 $A(-2,4)$ ，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{PA}$ 、 $\mathit{PB}$ 为圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ， $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $C$ ， $\mathit{PO}$ 的延长线交圆 $O$ 于点 $D$ ．下列结论不一定成立的是 $($ 　　 $)$

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，矩形的边 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{BC}=b$ ， $\angle \mathit{DAO}=x$ ，则点 $C$ 到 $x$ 轴的距离等于 $($ 　　 $)$

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 图象的对称轴为 $x=1$ ，其图象如图所示，现有下列结论：

① $\mathit{abc}>0$ ，

② $b-2a<0$ ，

③ $a-b+c>0$ ，

④ $a+b>n(\mathit{an}+b)$ ， $(n\ne 1)$ ，

⑤ $2c<3b$ ．

正确的是 $($ 　　 $)$

$-\frac{1}{3}$的绝对值是　　．

分解因式：$2x^2-2=$　　．

若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是　　．

不等式组$\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{3}⩾-1\\ 1+2x⩾-1\end{array}\right.$的解集为　　．

如图，直线$\mathit{AE}//\mathit{BC}$，$\mathit{BA}\perp \mathit{AC}$，若$\angle \mathit{ABC}=54°$，则$\angle \mathit{EAC}=$　　度．

从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心．选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：$t)$的数据，这两组数据的平均数分别是${\bar{x}}_{甲}\approx 7.5$，${\bar{x}}_{乙}\approx 7.5$，方差分别是$S_{甲}^2=0.010$，$S_{乙}^2=0.002$，你认为应该选择的玉米种子是　　．

在平面直角坐标系中，$O$为原点，点$A(6,0)$，点$B$在$y$轴的正半轴上，$\angle \mathit{ABO}=30°$，矩形$\mathit{CODE}$的顶点$D$，$E$，$C$分别在$\mathit{OA}$，$\mathit{AB}$，$\mathit{OB}$上，$\mathit{OD}=2$．将矩形$\mathit{CODE}$沿$x$轴向右平移，当矩形$\mathit{CODE}$与$\mathit{\Delta ABO}$重叠部分的面积为$6\sqrt{3}$时，则矩形$\mathit{CODE}$向右平移的距离为　　．

观察下列结论：

（1）如图①，在正三角形$\mathit{ABC}$中，点$M$，$N$是$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$上的点，且$\mathit{AM}=\mathit{BN}$，则$\mathit{AN}=\mathit{CM}$，$\angle \mathit{NOC}=60°$；

（2）如图2，在正方形$\mathit{ABCD}$中，点$M$，$N$是$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$上的点，且$\mathit{AM}=\mathit{BN}$，则$\mathit{AN}=\mathit{DM}$，$\angle \mathit{NOD}=90°$；

（3）如图③，在正五边形$\mathit{ABCDE}$中点$M$，$N$是$\mathit{AB}$，$\mathit{BC}$上的点，且$\mathit{AM}=\mathit{BN}$，则$\mathit{AN}=\mathit{EM}$，$\angle \mathit{NOE}=108°$；

$\dots$

根据以上规律，在正$n$边形$A_1{A}_2{A}_3{A}_4\dots A_n$中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点$M$，$N$是$A_1{A}_2$，$A_2{A}_3$上的点，且$A_{1}M=A_{2}N$，$A_{1}N$与$A_{n}M$相交于$O$．也会有类似的结论，你的结论是　　．

计算： $2\cos 45°+{(\pi -2020)}^0+|2-\sqrt{2}|$ ．

化简： $(\frac{a^2}{a-1}-a-1)÷\frac{2a}{a^2-1}$ ．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的外侧，作等边三角形 $\mathit{ADE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BAE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）求 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数．

为加强安全教育，某校开展了"防溺水"安全知识竞赛，想了解七年级学生对"防溺水"安全知识的掌握情况，现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和解析．部分信息如下：

$a$ ．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组： $50⩽x<60$ ， $60⩽x<70$ ， $70⩽x<80$ ， $80⩽x<90$ ， $90⩽x⩽100)$ 如图所示

$b$ ．七年级参赛学生成绩在 $70⩽x<80$ 这一组的具体得分是：70   71   73   75   76   76   76   77   77   78   79

$c$ ．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：

$d$ ．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有 　 　人；

（2）表中 $m$ 的值为 　　；

（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第 　　名；

（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．

（1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ ．

（1）若 $D$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，证明： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CA}=6$ ， $\mathit{CE}=3.6$ ，求 $\odot O$ 的半径 $\mathit{OA}$ 的长．

问题背景：如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\angle \mathit{BCD}=90°$ ， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=120°$ ， $\angle \mathit{MBN}=60°$ ， $\angle \mathit{MBN}$ 绕 $B$ 点旋转，它的两边分别交 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{DC}$ 于 $E$ 、 $F$ ．探究图中线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{EF}$ 之间的数量关系．

小李同学探究此问题的方法是：延长 $\mathit{FC}$ 到 $G$ ，使 $\mathit{CG}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BG}$ ，先证明 $\mathit{\Delta BCG}\cong \mathit{\Delta BAE}$ ，再证明 $\mathit{\Delta BFG}\cong \mathit{\Delta BFE}$ ，可得出结论，他的结论就是 　 　；

探究延伸1：如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\angle \mathit{BCD}=90°$ ， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{MBN}$ ， $\angle \mathit{MBN}$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{DC}$ 于 $E$ 、 $F$ ，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出"成立"或者"不成立" $)$ ，不要说明理由；

探究延伸2：如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAD}+\angle \mathit{BCD}=180°$ ， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{MBN}$ ， $\angle \mathit{MBN}$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{DC}$ 于 $E$ 、 $F$ ．上述结论是否仍然成立？并说明理由；

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 $(O$ 处）北偏西 $30°$ 的 $A$ 处．舰艇乙在指挥中心南偏东 $70°$ 的 $B$ 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里 $/$ 小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 $50°$ 的方向以100海里 $/$ 小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 $E$ 、 $F$ 处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 $70°$ ．试求此时两舰艇之间的距离．

已知直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的一个交点为 $A(-1,0)$ ，点 $M(m,0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{\mathit{\Delta EQM}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACE}}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b+\frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{DM}$ 的最小值为 $\frac{27\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．