2020年四川省遂宁市中考数学试卷

$-5$的相反数是 $($　　 $)$

A．5B． $-5$C． $\frac{1}{5}$D． $-\frac{1}{5}$

已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为 $($　　 $)$

A． $8.23\times {10}^{-6}$B． $8.23\times {10}^{-7}$C． $8.23\times {10}^6$D． $8.23\times {10}^7$

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $7\mathit{ab}-5a=2b$B． ${(a+\frac{1}{a})}^2=a^2+\frac{1}{a^2}$

C． ${(-3a^{2}b)}^2=6a^4{b}^2$D． $3a^{2}b÷b=3a^2$

下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 $($　　 $)$

A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正五边形

函数 $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}$中，自变量 $x$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $x>-2$B． $x⩾-2$C． $x>-2$且 $x\ne 1$D． $x⩾-2$且 $x\ne 1$

关于 $x$的分式方程 $\frac{m}{x-2}-\frac{3}{2-x}=1$有增根，则 $m$的值 $($　　 $)$

A． $m=2$B． $m=1$C． $m=3$D． $m=-3$

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{AD}$于点 $F$，交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $G$，若 $\mathit{AF}=2\mathit{FD}$，则 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EG}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{1}{3}$C． $\frac{2}{3}$D． $\frac{3}{4}$

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象如图所示，对称轴为直线 $x=-1$，下列结论不正确的是 $($　　 $)$

A． $b^2>4\mathit{ac}$B． $\mathit{abc}>0$

C． $a-c<0$D． $a{m}^2+\mathit{bm}⩾a-b(m$为任意实数）

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $O$在 $\mathit{AB}$上，经过点 $A$的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\mathit{CD}=\sqrt{2}$，则图中阴影部分面积为 $($　　 $)$

A． $4-\frac{\pi }{2}$B． $2-\frac{\pi }{2}$C． $2-\pi$D． $1-\frac{\pi }{4}$

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{DE}$，分别交 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$于点 $P$、 $Q$，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp \mathit{AE}$交 $\mathit{CB}$的延长线于 $F$，下列结论：

① $\angle \mathit{AED}+\angle \mathit{EAC}+\angle \mathit{EDB}=90°$，

② $\mathit{AP}=\mathit{FP}$，

③ $\mathit{AE}=\frac{\sqrt{10}}{2}\mathit{AO}$，

④若四边形 $\mathit{OPEQ}$的面积为4，则该正方形 $\mathit{ABCD}$的面积为36，

⑤ $\mathit{CE}·\mathit{EF}=\mathit{EQ}·\mathit{DE}$．

其中正确的结论有 $($　　 $)$

A．5个B．4个C．3个D．2个

下列各数3.1415926， $\sqrt{9}$， $1.212212221\dots$， $\frac{1}{7}$， $2-\pi$， $-2020$， $\sqrt[3]{4}$中，无理数的个数有　　个．

一列数4、5、4、6、 $x$、5、7、3中，其中众数是4，则 $x$的值是　　．

已知一个正多边形的内角和为 $1440°$，则它的一个外角的度数为　　度．

若关于 $x$的不等式组 $\left\{\begin{array}{c}\frac{x-2}{4}<\frac{x-1}{3}\\ 2x-m⩽2-x\end{array}\right.$有且只有三个整数解，则 $m$的取值范围是　　．

如图所示，将形状大小完全相同的“ $▱$”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“ $▱$”的个数为 $a_1$，第2幅图中“ $▱$”的个数为 $a_2$，第3幅图中“ $▱$”的个数为 $a_3$， $\dots$，以此类推，若 $\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{2}{a_3}+\dots +\frac{2}{a_n}=\frac{n}{2020}$． $(n$为正整数），则 $n$的值为　　．

计算： $\sqrt{8}-2\sin 30°-|1-\sqrt{2}|+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}-{(\pi -2020)}^0$．

先化简， $(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}-x-2)÷\frac{x+2}{x-2}$，然后从 $-2⩽x⩽2$范围内选取一个合适的整数作为 $x$的值代入求值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．

在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点 $B$垂直起飞到达点 $A$处，测得1号楼顶部 $E$的俯角为 $67°$，测得2号楼顶部 $F$的俯角为 $40°$，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且 $\mathit{EC}$和 $\mathit{FD}$分别垂直地面于点 $C$和 $D$，点 $B$为 $\mathit{CD}$的中点，求2号楼的高度．（结果精确到 $0.1)$

（参考数据 $\sin 40°\approx 0.64$， $\cos 40°\approx 0.77$， $\tan 40°\approx 0.84$， $\sin 67°\approx 0.92$， $\cos 67°\approx 0.39$， $\tan 67°\approx 2.36)$

新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买 $A$、 $B$两种花苗．据了解，购买 $A$种花苗3盆， $B$种花苗5盆，则需210元；购买 $A$种花苗4盆， $B$种花苗10盆，则需380元．

（1）求 $A$、 $B$两种花苗的单价分别是多少元？

（2）经九年级一班班委会商定，决定购买 $A$、 $B$两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 $B$种花苗， $B$种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？

阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0$， $a_1$、 $b_1$、 $c_1$是常数）与 $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2(a_2\ne 0$， $a_2$、 $b_2$、 $c_2$是常数）满足 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y=2x^2-3x+1$的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 $y=2x^2-3x+1$可知， $a_1=2$， $b_1=-3$， $c_1=1$，根据 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，求出 $a_2$， $b_2$， $c_2$就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数 $y=x^2-4x+3$的旋转函数．

（2）若函数 $y=5x^2+(m-1)x+n$与 $y=-5x^2-\mathit{nx}-3$互为旋转函数，求 ${(m+n)}^{2020}$的值．

（3）已知函数 $y=2(x-1)(x+3)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$、 $B$、 $C$关于原点的对称点分别是 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，试求证：经过点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$的二次函数与 $y=2(x-1)(x+3)$互为“旋转函数”．

端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对 $A$、 $B$、 $C$、 $D$四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：

（1）本次参加抽样调查的居民有　　人．

（2）喜欢 $C$种口味粽子的人数所占圆心角为　　度．根据题中信息补全条形统计图．

（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃 $D$种粽子的有　　人．

（4）若有外型完全相同的 $A$、 $B$、 $C$、 $D$粽子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是 $A$种粽子的概率．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A$的坐标为 $(0,2)$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$，连结 $\mathit{AB}$，以 $\mathit{AB}$为边在第一象限内作正方形 $\mathit{ABCD}$，直线 $\mathit{BD}$交双曲线 $y==\frac{k}{x}(k\ne 0)$于 $D$、 $E$两点，连结 $\mathit{CE}$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$和直线 $\mathit{DE}$的解析式．（2）求 $\mathit{\Delta DEC}$的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $D$为 $\mathit{AB}$边上的一点，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $C$作 $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，交 $\mathit{AE}$于点 $H$，过点 $E$的弦 $\mathit{EP}$交 $\mathit{AB}$于点 $Q(\mathit{EP}$不是直径），点 $Q$为弦 $\mathit{EP}$的中点，连结 $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$恰好为 $\odot O$的切线．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{EF}}=\stackrel{̂}{\mathit{ED}}$．

（3）若 $\sin \angle \mathit{ABC}==\frac{3}{5}$， $\mathit{AC}=15$，求四边形 $\mathit{CHQE}$的面积．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,6)$三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的顶点 $M$与对称轴 $l$上的点 $N$关于 $x$轴对称，直线 $\mathit{AN}$交抛物线于点 $D$，直线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，若直线 $\mathit{BE}$将 $\mathit{\Delta ABD}$的面积分为 $1:2$两部分，求点 $E$的坐标．

（3） $P$为抛物线上的一动点， $Q$为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点 $P$，使 $A$、 $D$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．