2021年湖南省永州市中考数学试卷（含答案与解析）

$-|-2021|$ 的相反数为 $($ 　　 $)$

如图，在平面内将五角星绕其中心旋转 $180°$ 后所得到的图案是 $($ 　　 $)$

据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长 $6.5\%$ ，将"人均可支配收入"用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是 $($ 　　 $)$

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

在一元一次不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x+1>0\\ x-5⩽0\end{array}\right.$的解集中，整数解的个数是 $($　　 $)$

A．4B．5C．6D．7

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N$ ，作直线 $\mathit{MN}$ 分别交 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ 和点 $E$ ，若 $\angle B=50°$ ，则 $\angle \mathit{CAD}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设 $x$ 人参与组团，物价为 $y$ 元，则以下列出的方程组正确的是 $($ 　　 $)$

小明计划到永州市体验民俗文化，想从"零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典"四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验"瑶族长鼓舞、舜帝祭典"的概率为 $($ 　　 $)$

定义：若 ${10}^x=N$ ，则 $x={\log }_{10}N$ ， $x$ 称为以10为底的 $N$ 的对数，简记为 $\mathit{lgN}$ ，其满足运算法则： $\mathit{lgM}+\mathit{lgN}=\mathit{lg}(M\cdot N)(M>0$ ， $N>0)$ ．例如：因为 ${10}^2=100$ ，所以 $2=\mathit{lg}100$ ，亦即 $\mathit{lg}100=2$ ； $\mathit{lg}4+\mathit{lg}3=\mathit{lg}12$ ．根据上述定义和运算法则，计算 ${\left(\mathit{lg}2\right)}^2+\mathit{lg}2\cdot \mathit{lg}5+\mathit{lg}5$ 的结果为 $($ 　　 $)$

在0， $\frac{22}{7}$， $-0.101001$， $\pi$， $\sqrt[3]{8}$中无理数的个数是 　　个．

已知二次根式 $\sqrt{x+3}$有意义，则 $x$的取值范围是 　　．

请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：　　．

某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中 $A$ 班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛， $A$ 班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策 $A$ 班应该选择的同学是 　　．

某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为 $60\pi$ ，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　　．

如图， $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $A(4,3)$ ， $B(0,-3)$ ，在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使线段 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$ 的值最小，则点 $P$ 的坐标是 　　．

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}{x}^2,0⩽x<1\\ 2x-2,x⩾1\end{array}\right.$，若 $y=2$，则 $x=$　　．

若 $x$ ， $y$ 均为实数， ${43}^x=2021$ ， ${47}^y=2021$ ，则：

（1） ${43}^{\mathit{xy}}\cdot {47}^{\mathit{xy}}=($ 　 　 ${)}^{x+y}$ ；

（2） $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=$ 　　．

先化简，再求值： ${(x+1)}^2+(2+x)(2-x)$，其中 $x=1$．

若 $x_1$， $x_2$是关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的两个根，则 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$， $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$．现已知一元二次方程 $p{x}^2+2x+q=0$的两根分别为 $m$， $n$．

（1）若 $m=2$， $n=-4$，求 $p$， $q$的值；

（2）若 $p=3$， $q=-1$，求 $m+\mathit{mn}+n$的值．

为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．

200名学生党史知识竞赛成绩的频数表

请结合图表解决下列问题：

（1）频数表中， $a=$　　， $b=$　　；

（2）请将频数分布直方图补充完整；

（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 　　组；

（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

如图，已知点 $A$ ， $D$ ， $C$ ， $B$ 在同一条直线上， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$ ， $\mathit{AE}=\mathit{BF}$ ， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEC}\cong \mathit{\Delta BFD}$ ．

（2）判断四边形 $\mathit{DECF}$ 的形状，并证明．

永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植 $A$、 $B$两种经济作物．预计 $B$种经济作物亩产值比 $A$种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年 $A$种经济作物年总产值20万元， $B$种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年 $A$、 $B$两种经济作物应各种植多少亩？

已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，边角总满足关系式： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ．

（1）如图1，若 $a=6$ ， $\angle B=45°$ ， $\angle C=75°$ ，求 $b$ 的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 $\mathit{ABC}$ 中建一座小型景观桥 $\mathit{CD}$ （如图2所示），若 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}=14$ 米， $\mathit{AB}=10$ 米， $\sin \angle \mathit{ACB}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$ ，求景观桥 $\mathit{CD}$ 的长度．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．