2021年内蒙古乌兰察布市中考数学试卷（含答案与解析）

据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为 $4.661\times {10}^n$ ，则 $n$ 等于 $($ 　　 $)$

下列运算结果中，绝对值最大的是 $($ 　　 $)$

已知线段 $\mathit{AB}=4$ ，在直线 $\mathit{AB}$ 上作线段 $\mathit{BC}$ ，使得 $\mathit{BC}=2$ ，若 $D$ 是线段 $\mathit{AC}$ 的中点，则线段 $\mathit{AD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AB}=\sqrt{5}$ ， $\mathit{BC}=2$ ，以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 的长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $C$ ，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{AC}$ 的长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

若 $x=\sqrt{2}+1$ ，则代数式 $x^2-2x+2$ 的值为 $($ 　　 $)$

定义新运算" $?$ "，规定： $a?b=a-2b$ ．若关于 $x$ 的不等式 $x?m>3$ 的解集为 $x>-1$ ，则 $m$ 的值是 $($ 　　 $)$

如图，直线 $l_1//l_2$ ，直线 $l_3$ 交 $l_1$ 于点 $A$ ，交 $l_2$ 于点 $B$ ，过点 $B$ 的直线 $l_4$ 交 $l_1$ 于点 $C$ ．若 $\angle 3=50°$ ， $\angle 1+\angle 2+\angle 3=240°$ ，则 $\angle 4$ 等于 $($ 　　 $)$

下列命题正确的是 $($ 　　 $)$

已知二次函数 $y=a{x}^2-\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象经过第一象限的点 $(1,-b)$ ，则一次函数 $y=\mathit{bx}-\mathit{ac}$ 的图象不经过 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{\Delta DBC}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{BC}$ 对称，连接 $\mathit{AD}$ ，与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $C$ ， $\mathit{AD}$ 相交于点 $E$ ，若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{BC}=6$ ，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$ 的 $\mathit{OA}$ 边在 $x$ 轴的正半轴上， $\mathit{OC}$ 边在 $y$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$ ，反比例函数 $y=\frac{2}{x}(x>0)$ 的图象与 $\mathit{BC}$ 交于点 $D$ ，与对角线 $\mathit{OB}$ 交于点 $E$ ，与 $\mathit{AB}$ 交于点 $F$ ，连接 $\mathit{OD}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{EF}$ ， $\mathit{DF}$ ．下列结论：

① $\sin \angle \mathit{DOC}=\cos \angle \mathit{BOC}$ ；② $\mathit{OE}=\mathit{BE}$ ；③ $S_{\mathit{\Delta DOE}}=S_{\mathit{\Delta BEF}}$ ；④ $\mathit{OD}:\mathit{DF}=2:3$ ．

其中正确的结论有 $($ 　　 $)$

因式分解： $\frac{a{x}^2}{4}+\mathit{ax}+a=$　　．

化简： $(\frac{2m}{m^2-4}+\frac{1}{2-m})÷\frac{1}{m+2}=$　　．

一个正数 $a$的两个平方根是 $2b-1$和 $b+4$，则 $a+b$的立方根为　　．

某人5次射击命中的环数分别为5，10，7， $x$，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CB}$ ，垂足为 $B$ ，且 $\mathit{BD}=3$ ，连接 $\mathit{CD}$ ，与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{CB}$ ，垂足为 $N$ ．若 $\mathit{AC}=2$ ，则 $\mathit{MN}$ 的长为 　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=12$ ，以 $\mathit{AD}$ 为直径的 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 相切于点 $E$ ，连接 $\mathit{OC}$ ．若 $\mathit{OC}=\mathit{AB}$ ，则 $▱\mathit{ABCD}$ 的周长为 　　．

如图， $\mathit{BD}$ 是正方形 $\mathit{ABCD}$ 的一条对角线， $E$ 是 $\mathit{BD}$ 上一点， $F$ 是 $\mathit{CB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ ．若 $\mathit{DE}=\mathit{DC}$ ， $\mathit{EF}=\mathit{EC}$ ，则 $\angle \mathit{BAF}$ 的度数为 　　．

已知抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）与 $y$轴交于点 $C$，点 $D(4,y)$在抛物线上， $E$是该抛物线对称轴上一动点，当 $\mathit{BE}+\mathit{DE}$的值最小时， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为 　　．

为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中 $a$， $b$满足 $b=2a$．请根据所给信息，解答下列问题：

甲组20名学生竞赛成绩统计表

（1）求统计表中 $a$， $b$的值；

（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是： $(70+80+90+100)÷4=85$（分 $)$．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

某工程队准备从 $A$ 到 $B$ 修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$ 的同一侧选定 $C$ ， $D$ 两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$ 长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$ ， $\mathit{CD}$ 长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$ ， $\mathit{BD}$ 长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$ ， $\angle \mathit{ACD}=60°$ ， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一水平面内）．

（1）求 $A$ 、 $D$ 两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$ 的长度．

小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．

（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的高，以 $\mathit{AD}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$ 于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{AG}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{DF}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$ ；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$ ，求 $\mathit{HF}$ 的长．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部的一点，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{CP}$ ．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $R$ ，当点 $P$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$ 上时，连接 $\mathit{AP}$ ，在 $\mathit{BC}$ 边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$ ， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$ ，连接 $\mathit{DP}$ ，求 $\angle \mathit{CPD}$ 的度数；

（2）如图2， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$ ，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$ 时，连接 $\mathit{EP}$ 并延长，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$ ，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$ ；

（3）如图3， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$ 时，连接 $\mathit{MP}$ ．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$ ， $\mathit{AB}=6a$ ， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta BCP}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $S_1-S_2$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+4x$ 经过坐标原点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，点 $M(m,n)$ 是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m>0$ ， $n>0$ ，且 $n=3m$ 时，

①求点 $M$ 的坐标；

②若点 $B(\frac{15}{4}$ ， $y)$ 在该抛物线上，连接 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{BM}$ ， $C$ 是线段 $\mathit{BM}$ 上一动点（点 $C$ 与点 $M$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//\mathit{MO}$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，线段 $\mathit{OD}$ 与 $\mathit{MC}$ 是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $K$ ，点 $E(x,\frac{7}{3})$ 在对称轴上，当 $m>2$ ， $n>0$ ，且直线 $\mathit{EM}$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $F$ 时，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $\mathit{EM}$ 于点 $N$ ， $G$ 为 $y$ 轴上一点，点 $G$ 的坐标为 $(0,\frac{18}{5})$ ，连接 $\mathit{GF}$ ．若 $\mathit{EF}+\mathit{NF}=2\mathit{MF}$ ，求证：射线 $\mathit{FE}$ 平分 $\angle \mathit{AFG}$ ．