2008年全国统一高考理科数学试卷（湖南卷）

复数 ${\left(i-\frac{1}{i}\right)}^3$ 等于(    $)$

" $|x-1|<2$ 成立"是 " $x(x-3)<0$ 成立"的(    )

已知变量 $x$ 、 $y$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{c}x\ge 1,\\ x-y\le 0,\mathrm{}\\ x+2y-9\le 0\end{array}\right.$ ，则 $x+y$ 的最大值是（  ）

设随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,9)$ ,若 $P(\xi >c+1)=P(\xi <c-1)$ ,则 $c=(\mathrm{}$    )

设有直线 $m\mathrm{、}n$ 和平面 $\alpha \mathrm{、}\beta$ .下列四个命题中, 正确的是（ ）

函数 $f\left(x\right)={\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最大值是(   )

设 $D\mathrm{、}E,F$ 分别是 $△\mathit{ABC}$ 的三边 $\mathit{BC},\mathit{CA},\mathit{AB}$ 上的点, 且 $\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{D}\mathit{C}}\mathit{=}\mathit{2}\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{B}\mathit{D}},\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{C}\mathit{E}}\mathit{=}\mathit{2}\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{E}\mathit{A}}$ , $\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{A}\mathit{F}}\mathit{=}\mathit{2}\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{F}\mathit{B}}$ , 则 $\mathit{ }\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{A}\mathit{D}}\mathit{+}\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{B}\mathit{E}}\mathit{+}\stackrel{\mathit{\to }}{\mathit{C}\mathit{F}}$ 与 $\stackrel{\to }{BC}$ (   )

若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{}(a>0,b>0)$ 上横坐标为 $\frac{3a}{2}$ 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离, 则双曲线离心率的取值范围是(   )

长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的 8 个顶点在同一球面上, 且 $\mathit{AB}=2,\mathit{AD}=\sqrt{3},A{A}_1=1$ , 则顶点 $A\mathrm{、}B$ 间的球面距离是(  )

设 $\left[x\right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $\left[2\right]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1$ ）,对于给定的 $n\in {\mathbf{N}}^{*}$ , $\text{ 定义 }{C}_n^x=\frac{n(n-1)\dots \dots (n-[x]+1)}{x(x-1)\dots \dots (x-[x]+1)},x\in [1,+\mathrm{\infty })\text{,则当 }x\in \left[\frac{3}{2},3\right)\text{ 时，函数 }{C}_8^x\text{ 的值域是}$ (   )

$\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\mathrm{ }\frac{x-1}{x^2+3x-4}=$     .

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的右焦点为 $F$ , 右准线为 $l$ ,离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$ .过顶点 $A(0,b)$ 作 $\mathit{AM}\perp l$ ,垂足为 $\mathrm{M}$ , 则直线 $\mathrm{FM}$ 的斜率等于   .

设函数 $y=f\left(x\right)$ 存在反函数 $y=f^{-1}\left(x\right)$ ,且函数 $y=x-f\left(x\right)$ 的图象过点 $(1,2)$ .则函数 $y=f^{-1}\left(x\right)-x$ 的图象一定过点   .

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{3-\mathit{ax}}}{a-1}(a\ne 1)$ .

(1) 若 $a>0$ ,则 $f\left(x\right)$ 的定义域是    ;

(2) 若 $f\left(x\right)$ 在区间 $(0,1]$ 上是减函数, 则实数 $a$ 的取值范围是    .

对有 $n(n⩾4)$ 个元素的总体 $\{1,2,\dots \dots ,n\}$ 进行抽样, 先将总体分成两个子总体 $\{1,2,\dots \dots ,m\}$ 和 $\{m+1,m+2,\dots \dots ,n\}\mathrm{}(m$ 是给定的正整数, 且 $2⩽m⩽n-2$ ),再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本,用 $P_{\mathit{ij}}$ 表示元素 $i$ 和 $j$ 同时出现在样本中的概率, 则 $P_{1n}=$     ; 所有 $P_{\mathit{ij}}(1⩽i<j⩽n)$ 的和等于   .

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ , 且面试是否合格互不影响.

求: ( I ) 至少有 1 人面试合格的概率;

( II ) 签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望.

如图所示，四棱锥 $P-\mathit{ABCD}$ 的底面 $\mathit{ABCD}$ 是边长为 1 的菱形， $\angle \mathit{BCD}={60}^{\circ }$ , $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点, $\mathit{PA}\perp$ 底面 $\mathit{ABCD},\mathit{PA}=2$ .

（I） 证明: 平面 $\mathit{PBE}\perp$ 平面 $\mathit{PAB}$ ;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

$\text{ 数列 }\left\{a_n\right\}\text{ 满足 }{a}_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\left(1+{\cos }^2\frac{\mathit{n\pi }}{2}\right)a_n+{\sin }^2\frac{\mathit{n\pi }}{2},n=1,2,3,\dots \dots .$

（Ⅰ） $\text{ 求 }{a}_3,a_4\text{, 并求数列 }\left\{a_n\right\}\text{ 的通项公式; }$

（II） $\text{ 设 }{b}_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}},S_n=b_1+b_2+\dots \dots +b_n.\text{ 证明: 当 }n\ge 6\text{ 时 },\left|S_n-2\right|<\frac{1}{n}\text{. }$

在一个特定时段内, 以点 $\mathrm{E}$ 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点 $\mathrm{E}$ 正北55海里处有一个 雷达观测站 $A$ .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 $A$ 北偏东 ${45}^{\circ }$ 且与点 $A$ 相距 $40\sqrt{2}$ 海里的位置 $B$ ,经过40分钟又测得该船已行驶到点 $A$ 北偏东 ${45}^{\circ }+\theta$ (其中 $\sin \theta =\frac{\sqrt{26}}{26},0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ )且与点 $A$ 相距 $10\sqrt{13}$ 海里的位置C.

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

若 $A\mathrm{、}B$ 是抛物线 $y^2=4x$ 上的不同两点, 弦 $\mathrm{AB}$ (不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ , 则称弦 $\mathit{AB}$ 是点 $P$ 的一条 "相关弦".已知当 $x>2$ 时，点 $P(x,0)$

存在无穷多条 "相关弦" .给定 $x_0>2$ .

(I) 证明：点 $P\left(x_0,0\right)$ 的所有"相关弦"的中点的横坐标相同;

(II) 试问：点 $P\left(x_0,0\right)$ 的"相关弦"的弦长中是否存在最大值?若存在, 求其最大值（用 $x_0$ 表示)：若不存在, 请说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)={\ln }^2(1+x)-\frac{x^2}{1+x}$ .

( I ) 求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间;

( II ) 若不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{a+a}\le e$ 对任意的 $n\in {\mathrm{N}}^{*}$ 都成立（其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数）.求 $\alpha$ 的最大值.