【八年级下册】全国重点高中提前招生单元过关（十一）

下列四个式子中与 $\left(a-3\right)\sqrt{\frac{1}{3-a}}$相等的是（ ）

若 $m,n$是实数，且 $m^2=\sqrt{n-1}+\sqrt{2-2n}+4$，则 $m+n$的值是（ ）

已知三角形的三边长分别为 $n,n+1,m$（其中 $m^2=2n+1$），则此三角形（ ）

如图四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $\mathit{AB}=a,\mathit{BC}=b(a>b)$，以对角线 $\mathit{AC}$为对称轴将 $△\mathit{ADC}$沿 $\mathit{AC}$对折则 $D$点转移到 $E$处， $\mathit{CE}$与 $\mathit{AB}$交于 $F$，则 $△\mathit{AFC}$的面积为（ ）

如图，在梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},\angle B+\angle C=90°,\mathit{AB}=6,\mathit{CD}=8,M,N$分别为 $\mathit{AD},\mathit{BC}$的中点，则 $\mathit{MN}$等于（ ）

$\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{{(x-2)}^2+16}$的最小值为（ ）

$\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+\cdots +\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}=$＿＿＿＿＿．

已知 $△\mathit{ABC}$的三边长分别为 $a,b,c$，且满足 $a^2+b^2+c^2=10a+24b+26c-338$，则 $△\mathit{ABC}$的面积为＿＿＿＿＿．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AD}=12,\mathit{AB}=5,P$是 $\mathit{AD}$边上任意一点， $\mathit{PE}\perp \mathit{BD}$于 $E.\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$于 $F$，那么 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$的值为＿＿＿＿＿．

如图所示，在四边形 $\mathit{ABCD}$中 $\angle B=135°,\angle C=120°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3},\mathit{BC}=4-2\sqrt{2},\mathit{CD}=4\sqrt{2}$，则 $\mathit{AD}$边的长为＿＿＿＿＿．

已知 $y=f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{{(x+1)}^2}+\sqrt[3]{x^2+x}+\sqrt[3]{x^2}}$，则 $f\left(1\right)+f\left(2\right)+\cdots +f\left(511\right)=$＿＿＿＿＿．

你可以依次剪 $6$张正方形纸片拼成如图所示的图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为 $1$，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为＿＿＿＿＿．

（1）证明： $\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}+\frac{a^2}{{(\mathit{ab}+1)}^2}}=\left|a+\frac{1}{b}-\frac{a}{\mathit{ab}+1}\right|$；

（2）利用（1）式计算： $\sqrt{1+{1990}^2+\frac{{1990}^2}{{1991}^2}}-\frac{1}{1991}$.

问题背景

在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB},\mathit{BC},\mathit{AC}$三边的长分别为 $\sqrt{5},\sqrt{10},\sqrt{13}$，求这个三角形的面积。小辉在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 $1$），再在网格中画出格点 $△\mathit{ABC}$（即 $△\mathit{ABC}$三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需要求出 $△\mathit{ABC}$的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将 $△\mathit{ABC}$的面积直接填写在横线上，＿＿＿＿＿.

思维拓展

（2）我们把上述求 $△\mathit{ABC}$面积的方法叫做构图法，若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{5}a,2\sqrt{2}a,\sqrt{17}a\mathrm{}\left(a>0\right)$，请利用②的正方形网格（每个小正方形的边长为 $a$）画出相应的 $△\mathit{ABC}$，并求出它的面积.

探索创新

（3）若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{m^2+16n^2},\sqrt{9m^2+4n^2},2\sqrt{m^2+n^2}(m>0,n>0$，且 $m\ne n)$，试运用构图法求出这个三角形的面积.

如图所示，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4,\angle \mathit{BAD}=120°,△\mathit{AEF}$为正三角形，点 $E,F$分别在菱形的边 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上滑动，且 $E,F$不与 $B,C,D$重合.

（1）证明不论 $E,F$在 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上如何滑动，总有 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$；

（2）当点 $E,F$在 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上滑动时，分别探讨四边形 $\mathit{AECF}$和 $△\mathit{CEF}$的面积是否发生变化?如果不变化，求出这个定值；如果变化，求最大（或最小）值.

有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.（在图中给出的图形上分别作图示意）

如图，在梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},E$是 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AD}=5,\mathit{BC}=12,\mathit{CD}=4\sqrt{2},\angle C=45°$，点 $P$是 $\mathit{BC}$边上一动点，设 $\mathit{PB}$的长为 $x$.

（1）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为直角梯形?

（2）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为平行四边形?

（3）点 $P$在 $\mathit{BC}$边上运动的过程中，以 $P,A,D,E$为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.