[上海]2012届上海市黄浦区高三上学期期终基础学业测评理科数学试卷
(理科)已知直三棱柱的棱
,
,如图3所示,则异面直线
与
所成的角是
(结果用反三角函数值表示).
一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个),经过充分混合后,现从中任意摸出3个球,则至少得到1个白球的概率是 (用数值作答).
(理科)已知函数是非零常数,关于
的方程
有且仅有三个不同的实数根,若
分别是三个根中的最小根和最大根,
则
= .
圆与直线
的位置关系是 ( )
A.直线与圆相交但不过圆心. | B.相切. |
C.直线与圆相交且过圆心. | D.相离 |
已知函数(
为常数)是奇函数,则
的反函数是 ( )
A.![]() |
B.![]() |
C.![]() |
D.![]() |
现给出如下命题:
(1)若直线上有两个点到平面
的距离相等,则直线
;
(2)“平面上有四个不共线的点到平面
的距离相等”的充要条件是“平面
”;
(3)若一个球的表面积是,则它的体积
;
(4)若从总体中随机抽取的样本为,则该总体均值的点估计值是
.则其中正确命题的序号是 ( )
A.(1)、(2)、(3). | B.(1)、(2)、(4). | C.(3)、(4). | D.(2)、(3). |
(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
(理科)已知四棱锥的底面
是直角梯形,
,
,
侧面为正三角形,
,
.如图4所示.
(1) 证明:平面
;
(2) 求四棱锥的体积
.
(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
要测定古物的年代,常用碳的放射性同位素的衰减来测定:在动植物的体内都含有微量的
,动植物死亡后,停止了新陈代谢,
不再产生,且原有的
含量的衰变经过5570年(
的半衰期),它的残余量只有原始量的一半.若
的原始含量为
,则经过
年后的残余量
与
之间满足
.
(1) 求实数的值;
(2) 测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中的残余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代(精确到100年).
(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.
已知两点、
,点
是直角坐标平面上的动点,若将点
的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
倍后得到点
满足
.
(1) 求动点所在曲线
的轨迹方程;
(2)(理科)过点作斜率为
的直线
交曲线
于
两点,且满足
,又点
关于原点O的对称点为点
,试问四点
是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
(文科)过点作斜率为
的直线
交曲线
于
两点,且满足
(O为坐标原点),试判断点
是否在曲线
上,并说明理由.
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知函数.
(1) 试说明函数的图像是由函数
的图像经过怎样的变换得到的;
(2) (理科)若函数,试判断函数
的奇偶性,并用反证法证明函数
的最小正周期是
;
(3) 求函数的单调区间和值域.