2012年全国统一高考理科数学试卷（四川卷）

${\left(1+x\right)}^7$的展开式中 $x^2$的系数是（）

复数 $\frac{(1-i{)}^2}{2i}=$（）

函数 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{x^2-9}{x-3}\\ \ln (x-2),x\ge 3\end{array},x<3$,在 $x=3$处的极限是（   ）

如图，正方形 $ABCD$的边长为1,延长 $BA$至 $E$,使 $AE=1$,连接 $EC、ED$则 $\sin \angle CED$=（）

函数 $y=a^x-\frac{1}{a}(a>0,a\ne 1)$的图象可能是（   ）

下列命题正确的是（）

设 $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$都是非零向量，下列四个条件中，使 $\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{a}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|}=\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{b}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|}$成立的充分条件是（  ）

已知抛物线关于 $x$轴对称，它的顶点在坐标原点 $O$，并且经过点 $M\left(2,y_0\right)$.若点 $M$到该抛物线焦点的距离为3,则 $\left|OM\right|=$（）

某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗 $A$原料1千克、 $B$原料2千克；生产乙产品1桶需耗 $A$原料2千克， $B$原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 $A$、 $B$原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（  ）

如图，半径为 $R$的半球 $O$的底面圆 $O$在平面 $\alpha$内，过点 $O$作平面 $\alpha$的垂线交半球面于点 $A$，过圆 $O$的直径 $CD$作平面 $\alpha$成 $45°$角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$的距离最大的点为 $B$，该交线上的一点 $P$满足 $\angle BOP=60°$，则 $A$、 $P$两点间的球面距离为（）

方程 $ay=b^2{x}^2+c$中的 $a,b,c\in \left\{-3,-2,0,1,2,3\right\}$,且 $a,b,c$互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（）

设函数 $f\left(x\right)=2x-\cos x$， $\left\{a_n\right\}$是公差为 $\frac{\mathrm{\pi }}{8}$的等差数列， $f\left(a_1\right)+f\left(a_2\right)+\dots +f\left(a_5\right)=5\mathrm{\pi }$，则 ${\left[f\left(a_3\right)\right]}^2-a_1{a}_3=$（）

设全集 $U=\{a,b,c,d\}$，集合 $A=\{a,b\},B=\{b,c,d\}$，则 $\left(C_{U}A\right)\cup \left(C_{U}B\right)=$.

如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M,N$分别是 $CD,C{C}_1$的中点，则异面直线 $A_{1}M$与 $DN$所成角的大小是.

椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左焦点为 $F$，直线 $x=m$与椭圆相交于点 $A,B$，当 $△FAB$的周长最大时， $△FAB$的面积是.

记 $\left[x\right]$为不超过实数 $x$的最大整数,例如 $\left[2\right]=2,\left[1.5\right]=1,\left[-0.3\right]=-1$.设 $a$为正整数,数列 $\left\{x_n\right\}$满足 $x_1=a$， $x_{n+1}=\left[\frac{x_n+\left[{\displaystyle \frac{a}{x_n}}\right]}{2}\right]\left(n\in N^{*}\right)$，现有下列命题：
①当 $a=5$时，数列 $\left\{x_n\right\}$的前3项依次为5,3,2；
②对数列 $\left\{x_n\right\}$都存在正整数 $k$，当 $n\ge k$时总有 $x_n=x_k$；
③当 $n\ge 1$时， $x_n>\sqrt{a}-1$；
④对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\ge x_k$，则 $x_n=\left[\sqrt{a}\right]$.
其中的真命题有.（写出所有真命题的编号）

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） $A$和 $B$，系统 $A$和在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$和 $p$.

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$，求 $p$的值；
（Ⅱ）设系统 $A$在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 $\xi$，求 $\xi$的概率分布列及数学期望 $E\xi$.

函数 $f\left(x\right)=6{\cos }^2\frac{\omega x}{2}+\sqrt{3}\cos \omega x-3\left(\omega >0\right)$在一个周期内的图象如图所示， $A$为图象的最高点， $B$、 $C$为图象与 $x$轴的交点，且 $△ABC$为正三角形。

（Ⅰ）求 $\omega$的值及函数 $f\left(x\right)$的值域；
（Ⅱ）若 $f\left(x_0\right)=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且 $x_0\in \left(-\frac{10}{3},\frac{2}{3}\right)$，求 $f\left(x_0+1\right)$的值。

如图,在三棱锥 $P-ABC$中, $\angle APB={90}^{°},\angle PAB={60}^{°},AB=BC=CA$,平面 $PAB\perp$平面 $ABC$.

（Ⅰ）求直线 $PC$与平面 $ABC$所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 $B-AP-C$的大小.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，且 $a_2{a}_n=S_2+S_n$对一切正整数 $n$都成立。
（Ⅰ）求 $a_1$， $a_2$的值；
（Ⅱ）设 $a_1>0$，数列 $\left\{lg\frac{10a_1}{a_n}\right\}$的前 $n$项和为 $T_n$，当 $n$为何值时， $T_n$最大？并求出 $T_n$的最大值.

如图，动点 $M$到两定点 $A(-1,0)$、 $B(2,0)$构成 $△MAB$，且 $\angle MBA=2\angle MAB$，设动点 $M$的轨迹为 $C$.

（Ⅰ）求轨迹 $C$的方程；
（Ⅱ）设直线 $y=-2x+m$与 $y$轴交于点 $P$，与轨迹 $C$相交于点 $Q$、 $R$，且 $\left|PQ\right|<\left|PR\right|$，求 $\frac{\left|PR\right|}{\left|PQ\right|}$的取值范围。

已知 $a$为正实数, $n$为自然数,抛物线 $y=-x^2+\frac{a_n}{2}$与 $x$轴正半轴相交于点 $A$,设 $f\left(n\right)$为该抛物线在点 $A$处的切线在 $y$轴上的截距.
（1）用 $a$和 $n$表示 $f\left(n\right)$；
（2）求对所有 $n$都有 $\frac{f\left(n\right)-1}{f\left(n\right)+1}\ge \frac{n^3}{n^3+1}$成立的 $a$的最小值；
（3）当 $0<a<1$时,比较 $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{f\left(k\right)-f\left(2k\right)}$与 $\frac{27}{4}·\frac{f\left(1\right)-f\left(n\right)}{f\left(0\right)-f\left(1\right)}$的大小,并说明理由.