2012年全国统一高考理科数学试卷（福建卷）

若复数 $z$满足 $zi=1-i$，则 $z$等于

等差数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1+a_5=10,a_4=7$,则数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为（）

下列命题中，真命题是（）

一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）

下列不等式一定成立的是（）

如图所示，在边长为1的正方形 $OABC$中任取一点 $P$，则点 $P$恰好取自阴影部分的概率为

设函数 $D\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1, x\mathrm{为有理函数}\\ 0，x\mathrm{为无理函数}\end{array}\right.$，则下列结论错误的是（）

已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦点与抛物线 $y^2=12x$的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）

若直线 $y=2x$上存在点 $(x,y)$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x+y-3\le 0\\ x-2y-3\le 0\\ x\ge m\end{array}$，则实数 $m$的最大值为

函数 $f\left(x\right)$在 $[a,b]$上有定义，若对任意 $x_1,x_2\in$ $[a,b]$，有 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{1}{2}\left[f\right(x_1)+f(x_2\left)\right]$则称 $f\left(x\right)$在 $[a,b]$上具有性质 $P$.设 $f\left(x\right)$在[1,3]上具有性质 $P$，现给出如下命题：
① $f\left(x\right)$在[1,3]上的图像是连续不断的；
② $f\left(x\right)$在[1, $\sqrt{3}$]上具有性质 $P$；
③若 $f\left(x\right)$在 $x=2$处取得最大值1，则 $f\left(x\right)=1$， $x\in$[1,3]；
④对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4\in$[1,3]，有 $f\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\right)\le \frac{1}{2}\left[f\right(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4\left)\right]$其中真命题的序号是

${\left(a+x\right)}^4$的展开式中 $x^3$的系数等于8，则实数 $a$=

阅读下图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的 $s$值等于

已知 $△ABC$得三边长成公比为 $\sqrt{2}$的等比数列，则其最大角的余弦值为.

数列 $\left\{a_n\right\}$通项公式 $a_n=n\cos \frac{n\pi }{2}+1$，前 $n$项和为 $S_n$，则 $S_{2010}$=

对于实数 $a$和 $b$，定义运算" $*$"： $a*b=\left\{\begin{array}{l}{a}^2-ab,a\le b\\ b^2-ab,a>b\end{array}\right.$

设 $f\left(x\right)=\left(2x-1\right)*\left(x-1\right)$，且关于 $x$的方程为 $f\left(x\right)=m\left(m\in R\right)$恰有三个互不相等的实数根 $x_1$， $x_2$， $x_3$，则 $x_1{x}_2{x}_3$的取值范围是

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 $X_1$，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $X_2$，分别求 $X_1$， $X_2$的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） ${\sin }^2{13}^{°}+{\cos }^2{17}^{°}-\sin {13}^{°}\cos {17}^{°}$

（2） ${\sin }^2{15}^{°}+{\cos }^2{15}^{°}-\sin {15}^{°}\cos {15}^{°}$

（3） ${\sin }^2{18}^{°}+{\cos }^2{12}^{°}-\sin {18}^{°}\cos {12}^{°}$

（4） ${\sin }^2\left(-{18}^{°}\right)+{\cos }^2{48}^{°}-{\sin }^2\left(-{18}^{°}\right){\cos }^2{48}^{°}$

（5） ${\sin }^2\left(-{25}^{°}\right)+{\cos }^{2}55°-{\sin }^2\left(-{25}^{°}\right){\cos }^2{55}^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.

如图,在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中 $A{A}_1=AD=1$, $E$为 $CD$中点.

（Ⅰ）求证: $B_{1}E\perp A{D}_1$；
（Ⅱ）在棱 $A{A}_1$上是否存在一点 $P$,使得 $DP\parallel$平面 $B_{1}AE$？若存在,求 $AP$的长；若不存在,说明理由.
（Ⅲ）若二面角 $A-B_{1}E{A}_1$的大小为 ${30}^{°}$,求 $AB$的长.

如图，椭圆 $E$： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为 $F_1$，右焦点为 $F_2$，离心率 $e=\frac{1}{2}$。过 $F_1$的直线交椭圆于 $A,B$两点，且 $△AB{F}_2$的周长为8

（Ⅰ）求椭圆 $E$的方程。
（Ⅱ）设动直线 $l$： $y=kx+m$与椭圆 $E$有且只有一个公共点 $P$，且与直线 $x=4$相较于点 $Q$。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$，使得以 $PQ$为直径的圆恒过点 $M$？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，说明理由

已知函数 $f\left(x\right)=e^x+a{x}^2-ex,a\in R$.
（Ⅰ）若曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线平行于 $x$轴，求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；
（Ⅱ）试确定 $a$的取值范围，使得曲线 $y=f\left(x\right)$上存在唯一的点 $P$，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $P$.

设曲线 $2x^2+2xy+y^2=1$在矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right)\left(a>0\right)$对应的变换作用下得到的曲线为 $x^2+y^2=1$.

（Ⅰ）求实数 $a,b$的值
（Ⅱ）求 $A^2$的逆矩阵

已知函数 $f\left(x\right)=m-|x-2|$， $m\in R$，且 $f(x+2)\ge 0$的解集为 $[-1,1]$.
（Ⅰ）求 $m$的值；
（Ⅱ）若 $a,b,c\in R$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=m$，求证： $a+2b+3c\ge 9$.

在平面直角坐标系中，以坐标原点 $O$为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线 $l$上两点 $M,N$的极坐标分别为（2,0）( $\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\pi }{2}$),圆 $C$的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2+2\cos \theta \\ y=-\sqrt{3}+2\sin \theta \end{array}\right.\left(\theta \mathrm{为参数}\right)$

（1）设 $P$为线段 $MN$的中点，求直线 $OP$的平面直角坐标方程

（2）判断直线 $l$与圆 $C$的位置关系