2012年全国统一高考文科数学试卷（福建卷）

复数 $(2+i{)}^2$等于

已知集合 $M=\{1,2,3,4\},N=\{-2,2\}$，下列结论成立的是

已知向量 $a=(x-1,2)$， $b=(2,1)$，则 $a\perp b$的充要条件是

一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是（）

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{5}=1$的右焦点为 $(3,0)$，则该双曲线的离心率等于

阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 $S$值等于（）

直线 $x+\sqrt{3}y-2=0$与圆 $x^2+y^2=4$相交于 $A,B$两点，则弦 $AB$的长度等于(  )

函数 $f\left(x\right)=\sin (x-\frac{\pi }{4})$的图像的一条对称轴是（）

设 $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array},g(x)=\{\begin{array}{c}1,x\mathrm{为有理数}\\ 0,x\mathrm{为无理数}\end{array},$则 $f\left(g\right(\pi \left)\right)$的值为

若直线 $y=2x$上存在点 $(x,y)$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ x-2y-3\le 0\end{array}\right. x\ge m$，则实数 $m$的最大值为（）

数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式 $a_n=n\cos \frac{n\pi }{2}$,其前 $n$项和为 $S_n$，则 $S_{2001}$等于

已知 $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x-abc,a<b<c,且f\left(a\right)=f\left(b\right)=f\left(c\right)=0$.现给出如下结论：
① $f\left(0\right)f\left(1\right)>0$；② $f\left(0\right)f\left(1\right)<0$；③ $f\left(0\right)f\left(3\right)>0$；④ $f\left(0\right)f\left(3\right)<0$.
其中正确结论的序号是（）

在 $△ABC$中，已知 $\angle BAC={60}^{°},\angle ABC={45}^{°}，BC=\sqrt{3}$，则 $AC$=

一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是.

已知关于 $x$的不等式 $x^2-ax+2a>0$在 $R$上恒成立，则实数 $a$的取值范围是.

某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为.

在等差数列 $\left\{a_n\right\}$和等比数列 $\left\{b_n\right\}$中， $a_1=b_1=1$， $b_4=8$, $\left\{a_n\right\}$的前10项和 $S_{10}=55$.

（Ⅰ）求 $a_n$和 $b_n$；
（Ⅱ）现分别从 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

（I）求回归直线方程 $\stackrel{⏜}{y}$ $=bx+a$，其中 $a=-20$， $a=\stackrel{⏜}{y}-b\overline{x}$；

（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利 $$\begin{gathered} \because \overline{x}=\frac{1}{6}(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6)=8.5\text{ \\ y = 1 6 ( y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 ) = 80 \\ ∴ a = y - b x = 80 + 20 × 8 . 5 = 250 ∴ 回归直线方程 : \\ y = - 20 x + 250} \end{gathered}$$润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $AB=AD=1$， $A{A}_1=2$， $M$为棱 $D{D}_1$上的一点。

Ⅰ求三棱锥 $A-MC{C}_1$的体积；

Ⅱ当 $A_{1}M+MC$取得最小值时，求证： $B_{1}M\perp$平面 $MAC$.

${\sin }^2(-{25}^{°})+{\cos }^2{55}^{°}- \sin (-{25}^{°})\cos {55}^{°}$某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1） ${\sin }^2{13}^{°}+{\cos }^2{17}^{°}-\sin {13}^{°}\cos {17}^{°}$

（2） ${\sin }^2{15}^{°}+{\cos }^2{15}^{°}-\sin {15}^{°}\cos {15}^{°}$

（3） $si{n}^2{18}^{°}+co{s}^2{12}^{°}-sin{18}^{°}cos{12}^{°}$

（4） ${\sin }^2(-{18}^{°})+{\cos }^2{48}^{°}- \sin (-{18}^{°})\cos {48}^{°}$

（5） ${\sin }^2(-{25}^{°})+{\cos }^2{55}^{°}- \sin (-{25}^{°})\cos {55}^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

如图，等边三角形 $OAB$的边长为 $8\sqrt{3}$，且其三个顶点均在抛物线 $E:x^2=2py（p＞0）$上。

（1）求抛物线 $E$的方程；
（2）设动直线 $l$与抛物线 $E$相切于点 $P$，与直线 $y=-1$相交于点 $Q$，证明以 $PQ$为直径的圆恒过 $y$轴上某定点.

已知函数 $f\left(x\right)=ax\sin x-\frac{3}{2}\left(a\in R\right)$且在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$上的最大值为 $\frac{\pi -3}{2}$，
(1)求函数 $f\left(x\right)$的解析式；
(2)判断函数 $f\left(x\right)$在 $\left(0,\pi \right)$内的零点个数，并加以证明