2012年全国统一高考理科数学试卷（湖北卷）

方程 $x^2+6x+13=0$的一个根是（）

命题" $\exists x_0\in {\zeta }_{R}Q,{x_0}^3\in Q$"的否定是

已知二次函数 $y=f\left(x\right)$的图象如图所示，则它与 $x$轴所围图形的面积为

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

设 $a\in Z$，且 $0\le a\le 13$，若 ${51}^{2012}+a$能被13整除，则 $a=$（）

设 $a,b,c,x,y,z$是正数，且 $a^2+b^2+c^2=10$， $x^2+y^2+z^2=40$， $ax+by+cz=20$，则 $\frac{a+b+c}{x+y+z}=$(  )

定义在 $（-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$上的函数 $f\left(x\right)$，如果对于任意给定的等比数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{f\right(a_n\left)\right\}$仍是等比数列，则称 $f\left(x\right)$为"保等比数列函数". 现有定义在 $（-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$上的如下函数：① $f\left(x\right)=x^2$； ② $f\left(x\right)=2^x$； ③ $f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}$；④ $f\left(x\right)=\ln \left|x\right|$.则其中是"保等比数列函数"的 $f\left(x\right)$的序号为

如图，在圆心角为直角的扇形 $OAB$中，分别以 $OA$， $OB$为直径作两个半圆. 在扇形 $OAB$内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

函数 $f\left(x\right)=x\cos x^2$在区间 $\left[0,4\right]$上的零点个数为（）

我国古代数学名著《九章算术》中"开立圆术"曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. "开立圆术"相当于给出了已知球的体积 $V$，求其直径 $d$的一个近似公式 $d\approx \sqrt[3]{\frac{16}{9}V}$. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 $\pi =3.14159...$判断，下列近似公式中最精确的一个是

设 $△ABC$的内角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$.若 $(a+b-c)(a+b+c)=ab$，则角 $C=$．

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 $s=$.

回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4位回文数有个；
（Ⅱ） $2n+1(n\in N^{+})$位回文数有个．

如图，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right)$的两顶点为 $A_1$， $A_2$，虚轴两端点为 $B_1$， $B_2$，两焦点为 $F_1$， $F_2$. 若以 $A_1{A}_2$为直径的圆内切于菱形 $F_1{B}_1{F}_2{B}_2$，切点分别为 $A,B,C,D$. 则

（Ⅰ）双曲线的离心率 $e$=；
（Ⅱ）菱形 $F_1{B}_1{F}_2{B}_2$的面积 $S_2$与矩形 $ABCD$的面积 $S_2$的比值 $\frac{S_1}{S_2}$=.

如图，点 $D$在 $\odot O$的弦 $AB$上移动， $AB=4$，连接 $OD$，过点 $D$作 $OD$的垂线交 $\odot O$于点 $C$，则 $CD$的最大值为.

在直角坐标系 $xOy$中，以原点 $O$为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线 $\theta =\frac{\pi }{4}$与曲线 $\{\begin{array}{c}x=t+1\\ y=(t-1{)}^2\end{array}$（ $t$为参数）相交于 $A,B$两点，则线段 $AB$的中点的直角坐标为.

已知向量 $\mathit{a}=\left(\sin \omega x-\sin \omega x,\sin \omega x\right)$， $\mathit{b}=\left(-\cos \omega x-\sin \omega x,2\sqrt{3}\cos \omega x\right)$，设函数 $f\left(x\right)=\mathit{a}\mathbf{·}\mathit{b}+\lambda$ $x\in R$的图象关于直线 $x=\pi$对称，其中 $\omega$， $\lambda$为常数，且 $\omega \in \left(\frac{1}{2},1\right)$.
（Ⅰ）求函数 $f\left(x\right)$的最小正周期；
（Ⅱ）若 $y=f\left(x\right)$的图象经过点 $\left(\frac{\pi }{4},0\right)$，求函数 $f\left(x\right)$在区间 $\left[0,\frac{3\pi }{5}\right]$上的取值范围.

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$前三项的和为 $-3$，前三项的积为 $8$.
（Ⅰ）求等差数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）若 $a_2$， $a_3$， $a_1$成等比数列，求数列 $\left\{\left|a_n\right|\right\}$的前 $n$项和

如图1， $\angle ACB={45}^{°},BC=3$，过动点 $A$作 $AD\perp BC$，垂足 $D$在线段 $BC$上且异于点 $B$，连接 $AB$，沿 $AD$将 $△ABD$折起，使 $\angle BDC={90}^{°}$（如图2所示）．
（Ⅰ）当 $BD$的长为多少时，三棱锥 $A-BCD$的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥 $A-BCD$的体积最大时，设点 $E,M$分别为棱 $BC,AC$的中点，试在棱 $CD$上确定一点 $N$，使得 $EN\perp BM$，并求 $EN$与平面 $BMN$所成角的大小．

根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 $X$（单位： $mm$）对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 $X$小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数 $Y$的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

设 $A$是单位圆 $x^2+y^2=1$上的任意一点， $l$是过点 $A$与 $x$轴垂直的直线， $D$是直线 $l$与 $x$ 轴的交点，点 $M$在直线 $l$上，且满足 $\left|DM\right|=m\left|DA\right|\left(m>0,且m\ne 1\right)$. 当点 $A$在圆上运动时，记点 $M$的轨迹为曲线 $C$．
（Ⅰ）求曲线 $C$的方程，判断曲线 $C$为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为 $k$的直线交曲线 $C$于 $P$， $Q$两点，其中 $P$在第一象限，它在 $y$轴上的射影为点 $N$，直线 $QN$交曲线 $C$于另一点 $H$. 是否存在 $m$，使得对任意的 $k>0$，都有 $PQ\perp PH$？若存在，求 $m$的值；若不存在，请说明理由.

（1）已知函数 $f\left(x\right)=rx-x^{`}+\left(1-r\right)\left(x>0\right)$，其中 $r$为有理数，且 $0<r<1$. 求 $f\left(x\right)$的最小值；
（2）试用（1）的结果证明如下命题：设 $a_1\ge 0,a_2\ge 0$， $b_1,b_2$为正有理数. 若 $b_1+b_2=1$，则 $a_1^{k_1}{a}_2^{k_2}\le a_1{b}_1+a_2{b}_2$；
（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：当 $\alpha$为正有理数时，有求导公式 ${\left(x^{\alpha }\right)}^{`}=\alpha x^{\alpha -1}$.