2009年全国统一高考理科数学试卷（重庆卷）

设函数 $f\left(x\right)=\sin (\frac{\pi x}{4}-\frac{\pi }{6})-2{\cos }^2\frac{\pi x}{8}+1$．
（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的最小正周期．
（Ⅱ）若函数 $y=g\left(x\right)$与 $y=f\left(x\right)$的图像关于直线 $x=1$对称，求当 $x\in \left[0,\frac{4}{3}\right]$时 $y=g\left(x\right)$的最大值．

设 $△ABC$的三个内角 $A,B,C$，向量 $m=(\sqrt{3}\sin A,\sin B)$， $n=(\cos B,\sqrt{3}\cos A)$，若 $m·n=1+\cos (A+B)$，则 $C$=（    ）

不等式 $\left|x+3\right|-\left|x-1\right|\le a^2-3a$对任意实数 $x$恒成立，则实数 $a$的取值范围为（）

锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（    ）

已知 $\left|a\right|=1,\left|b\right|=6,a·(b-a)=2$，则向量 $a$与向量 $b$的夹角是（   ）

$（x^2+\frac{2}{x}{)}^5$的展开式中 $x^4$的系数是（   ）

若 $f\left(x\right)=\frac{1}{2^x-1}+a$是奇函数，则 $a=$    ．

已知以 $T=4$为周期的函数 $f\left(x\right)\left\{\begin{array}{l}m\sqrt{1-x^2},x\in (-1,1]\\ 1-\left|x-2\right|,x\in (1,3]\end{array}\right.$，其中 $m>0$。若方程 $3f\left(x=x\right)$恰有5个实数解，则 $m$的取值范围为（）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 $\frac{2}{3}$和 $\frac{1}{2}$，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；
（Ⅱ）成活的株数 $\xi$的分布列与期望.

若 $A=\{x\in R|\left|x\right|<3\}$, $B=\{x\in R|2^x>1\}$，则 $A\cap B=$    .

直线 $y=x+1$与圆 $x^2+y^2=1$的位置关系为（）

已知二面角 $\alpha -l-\beta$的大小为 $50°$， $P$为空间中任意一点，则过点 $P$且与平面 $\alpha$和平面 $\beta$所成的角都是 $25°$的直线的条数为（   ）

已知 $\underset{x\to \infty }{lim}(\frac{2x^2}{x+1}-ax-b)=2$，其中 $a,b\in R$，则 $a-b$的值为（   ）

设函数 $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+k(k>0)$在 $x=0$处取得极值，且曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线垂直于直线 $x+2y+1=0$.
（1）求 $a,b$的值；

（2）若函数 $g\left(x\right)=\frac{e^x}{f\left(x\right)}$，讨论 $g\left(x\right)$的单调性。

已知复数 $z$的实部为-1，虚部为2，则 $\frac{5i}{z}$=（   ）

将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有    种（用数字作答）。

设 $a_1=2,a_{n+1}=\frac{2}{a_n+1},b_n=\left|\frac{a_n+2}{a_{n-1}}\right|,n\in N*$，则数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式 $b_n$=         。

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的左、右焦点分别为 $F_1\left(-c,0\right),F_2\left(c,0\right)$，若双曲线上存在一点 $P$使 $\frac{\sin P{F}_{1_{}}{F}_2}{\sin P{F}_2{F}_1}=\frac{a}{c}$，则该双曲线的离心率的取值范围是。

如图，在四棱锥 $S-ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ 且 $AD\perp CD$ ；平面 $CSD$ $\perp$ 平面 $ABCD$ ， $CS\perp DS,CS=2AD=2$ ； $E$ 为 $BS$ 的中点， $CE=\sqrt{2},AS=\sqrt{3}$ 。求：

（Ⅰ）点 $A$ 到平面 $BCS$ 的距离；
（Ⅱ）二面角 $E-CD-A$ 的大小。

已知以原点 $O$ 为中心的椭圆的一条准线方程为 $y=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ,离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $M$ 是椭圆上的动点.
（Ⅰ）若 $C,D$ 的坐标分别是 $\left(0,-\sqrt{3}\right),\left(0,\sqrt{3}\right)$ ,求 $\left|MC\right|·\left|MD\right|$ 的最大值；
（Ⅱ）如图,点 $A$ 的坐标为 $\left(1,0\right)$ , $B$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上的点, $N$ 是点 $M$ 在 $x$ 轴上的射影,点 $Q$ 满足条件: $\stackrel{\rightharpoonup }{OQ}=\stackrel{\rightharpoonup }{OM}+\stackrel{\rightharpoonup }{ON},\stackrel{\rightharpoonup }{QA}·\stackrel{\rightharpoonup }{BA}=0$ ,求线段 $QB$ 的中点 $P$ 的轨迹方程.

设 $m$个不全相等的正数 $a_1,a_2,...,a_m(m\ge 7)$依次围成一个圆圈。
（Ⅰ）若 $m=2009$，且 $a_1,a_2,...,a_{1005}$是公差为 $d$的等差数列，而 $a_1,a_{2009},a_{2004},...,a_{1005}$是公比为 $q=d$的等比数列；数列 $a_1,a_2,...,a_m$的前 $n$项和 $S_n(n\le m)$满足： $S_3=15,S_{2009}=S_{2007}+12a_1$，求通项 $a_n(n\le m)$；
（Ⅱ）若每个数 $a_n(n\le m)$是其左右相邻两数平方的等比中项，求证： $a_1+...+a_5+{a_7}^2+...+{a_m}^2>m{a}_1{a}_2{a}_m$。