2009年全国统一高考理科数学试卷（四川卷）

设集合$S=\left\{\overline{)x}\left|x\right|<5\right\},T=\left\{\overline{)x}{x}^2+4x-21<0\right\},$则$S\cap T$=

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}a+{\log }_{2}x& \left(当x\ge 2时\right)\\ \frac{x^2-4}{x-2}& \left(当x<2时\right)\end{array}\right.$在点 $x=2$处连续,则常数 $a$的值是（）

复数$\frac{{\left(1+2i\right)}^2}{3-4i}$的值是（）

已知函数$f\left(x\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)\left(x\in R\right)$,下面结论错误的是（）

已知 $a,b,c,d$为实数,且 $c>d$.则" $a>b$"是" $a-c>b-d$"的（）

已知双曲线$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(b>0\right)$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，其一条渐近线方程为$y=x$，点$P\left(\sqrt{3},y_0\right)$在该双曲线上，则$\stackrel{\rightharpoonup }{P{F}_1}\stackrel{\rightharpoonup }{P{F}_2}$=（）

如图，在半径为3的球面上有 $A,B,C$ 三点， $\angle ABC={90}^{°},BA=BC$ ，球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离是 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ ，则 $B,C$ 两点的球面距离是 （）

已知直线$l_1:4x-3y+6=0$和直线$l_2:x=-1$，抛物线$y^2=4x$上一动点$P$到直线$l_1$和直线$l_2$的距离之和的最小值是（）

某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用$A$原料3吨、$B$原料2吨；生产每吨乙产品要用$A$原料1吨、$B$原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是(     )

3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是(     )

已知函数$f\left(x\right)$是定义在实数集$R$上的不恒为零的偶函数，且对任意实数$x$都有$xf(x+1)=(1+x)f\left(x\right)$，则$f\left(f\right(\frac{5}{2}\left)\right)$的值是(     )

$(2x-\frac{1}{2x}{)}^5$的展开式的常数项是（用数字作答）

若⊙$O_1:x^2+y^2=5$与⊙$O_2:(x-m{)}^2+y^2=20(m\in R)$相交于$A,B$两点，且两圆在点$A$处的切线互相垂直，则线段$AB$的长度是.

如图,已知六棱锥 $P-ABCDEF$的底面是正六边形, $PA\perp$平面 $ABC$, $PA=2AB$,则下列结论正确的是 （）

设$V$是已知平面$M$上所有向量的集合，对于映射$f:V\to V,\stackrel{\rightharpoonup }{a}\in V$，记$\stackrel{\rightharpoonup }{a}$的象为$f\left(\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right)$。若映射$f:V\to V$满足：对所有$\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}\in V$及任意实数$\lambda ,\mu$都有，则$f$称为平面$M$上的线性变换。现有下列命题：
①设$f$是平面$M$上的线性变换，则
②对设，则$f$是平面$M$上的线性变换；
③若$\stackrel{\rightharpoonup }{e}$是平面$M$上的单位向量，对$\stackrel{\rightharpoonup }{a}\in V$设$f\left(\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right)=\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{e}$，则$f$是平面$M$上的线性变换；
④设$f$是平面$M$上的线性变换，$\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}\in V$，若$\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$共线，则$f\left(\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right),f\left(\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right)$也共线。
其中真命题是（写出所有真命题的序号）

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$,离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，右准线方程$x=2$.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点$F_1$的直线$l$与该椭圆相交于$M,N$两点，且$\left|\overrightarrow{F_{2}M}+\overrightarrow{F_{2}N}\right|=\frac{2\sqrt{26}}{3}$求直线$l$的方程式.

如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的各条棱长都相等， $M$ 是侧棱 $C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $A{B}_1$ 和 $BM$ 所成的角的大小是

在$∆ABC$中，$A,B$为锐角，角$A,B,C$所对应的边分别为$a,b,c$，且$\cos 2A=\frac{3}{5},\sin B=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
（Ⅰ）求$A+B$的值；
（Ⅱ）若$a+b=\sqrt{2}-1$，求$a,b,c$的值。

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中$\frac{3}{4}$是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有$\frac{1}{3}$持金卡，在省内游客中有$\frac{2}{3}$持银卡。
（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量$\xi$，求$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。

如图，正方形 $ABCD$ 所在平面与平面四边形 $ABEF$ 所在平面互相垂直， $△ABE$ 是等腰直角三角形， $AB=AE,FA=FE,\angle AEF={45}^{°}$ 。

（Ⅰ）求证： $EF\perp \mathrm{平面}BCE$ ；
（Ⅱ）设线段 $CD$ 的中点为 $P$ ，在直线 $AE$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $PM\parallel \mathrm{平面}BCE$ ？若存在，请指出点 $M$ 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角 $F-BD-A$ 的大小。

已知$a>0,且a\ne 1$函数$f\left(x\right)={\log }_a(1-a^x)$.
（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)$的定义域，并判断$f\left(x\right)$的单调性；
（Ⅱ）若$n\in N^{*}$,求$\underset{n\to +Z}{lim}\frac{a^{f\left(x\right)}}{a^x+a}$；
（Ⅲ）当$a=e$（$e$为自然对数的底数）时，设$h\left(x\right)=(1-e^{f\left(x\right)})(x^2-m+1)$，若函数$h\left(x\right)$的极值存在，求实数$m$的取值范围以及函数$h\left(x\right)$的极值.

设数列$\left\{a_n\right\}$的前n项和为$S_n$，对任意的正整数n，都有$a_n=5S_n+1$成立，记$b_n=\frac{4+a_n}{1-a_n}(n\in N*)$。
（Ⅰ）求数列$\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）记$c_n=b_{2n_{}}-b_{2n-1}(n\in N*)$，设数列$\left\{c_n\right\}$的前n项和为$T_n$，求证：对任意正整数n都有$T_n$；
（Ⅲ）设数列$\left\{b_n\right\}$的前n项和为$R_n$。已知正实数$\lambda$满足：对任意正整数$n,R_n\le \lambda n$恒成立，求$\lambda$的最小值。