2009年全国统一高考文科数学试卷（宁夏卷）

有四个关于三角函数的命题：
$p_1$: $\exists x\in R$, ${\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$

$p_2$: $\exists x$、 $y\in R$, $\sin (x-y)=\sin x-\sin y$

$p_3$: $\forall x\in \left[0,\pi \right],\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sin x$

$p_4$: $\sin x=\cos y\Rightarrow x+y=\frac{\pi }{2}$

其中假命题的是(     )

设 $x,y$满足 $\{\begin{array}{c}2x+y\ge 4\\ x-y\ge -1\\ x-2y\le 2\end{array}$,则 $z=x+y$(     )

一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： $c{m}^2$ ）为 （）

已知椭圆 $C$的中心为直角坐标系 $xOy$的原点，焦点在 $s$轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；
（Ⅱ）若 $P$为椭圆 $C$上的动点， $M$为过 $P$且垂直于 $x$轴的直线上的点， $\frac{\left|OP\right|}{\left|OM\right|}=\lambda$，求点 $M$的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

已知曲线 $C_1$： $\{\begin{array}{c}x=-4+\cos t\\ y=3+\sin t\end{array}$（ $t$为参数）， $C_2$： $\{\begin{array}{c}x=8\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}$（ $\theta$为参数）。
（1）化 $C_1$， $C_2$的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 $C_1$上的点 $P$对应的参数为 $t=\frac{\pi }{2}$， $Q$为上的动点，求 $PQ$中点 $M$到直线 $C_3:\{\begin{array}{c}x=3+2t\\ y=-2+t\end{array}$ （ $t$为参数）距离的最小值.

如图, $O$为数轴的原点, $A,B,M$为数轴上三点, $C$为线段 $OM$上的动点,设 $x$表示 $C$与原点的距离, $y$表示 $C$到 $A$距离4倍与 $C$道 $B$距离的6倍的和.

（1）将 $y$表示成 $x$的函数；
（2）要使 $y$的值不超过70, $x$应该在什么范围内取值？

已知抛物线 $C$的顶点坐标为原点，焦点在 $x$轴上，直线 $y=x$与抛物线 $C$交于 $A,B$两点，若 $P(2,2)$为 $AB$的中点，则抛物线 $C$的方程为.

如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 $A,B,C$ 三点进行测量，已知 $AB=50m$ ， $BC=120m$ ，于 $A$ 处测得水深 $AD=80m$ ，于 $B$ 处测得水深 $BE=200m$ ，于 $C$ 处测得水深 $CF=110m$ ，求 $\angle DEF$ 的余弦值.

已知圆 $C_1:(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=1$，圆 $C_2$与圆 $C_1$关于直线 $x-y-1=0$对称，则圆 $C_2$的方程为(   )

如果执行如图的程序框图，输入 $x=-2$ ， $h=0.5$ ,那么输出的各个数的合等于 （）

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $△PAB$ 是等边三角形， $\angle PAC=\angle PBC={90}^{°}$ .

（1）证明： $AB\perp PC$ ；
（2）若 $PC=4$ ，且平面 $PAC\perp$ 平面 $PBC$ ，求三棱锥 $P-ABC$ 体积.

如图，已知 $△ABC$ 的两条角平分线 $AD$ 和 $CE$ 相交于 $H$ ， $\angle B=60°$ ， $F$ 在 $AC$ 上，且 $AE=AF$ .

（Ⅰ）证明： $B$ 、 $D$ 、 $H$ 、 $E$ 四点共圆；
（Ⅱ）证明： $CE$ 平分 $\angle DEF$ .

已知集合 $A=\{1,3,5,7,9\},B=\{0,3,6,9,12\}$，则 $A\cap B=$(   )

复数 $\frac{3+2i}{2-3i}$=（）

已知 $\mathit{a}=\left(-3,2\right),\mathit{b}=\left(-1,0\right)$，向量 $\lambda \mathit{a}+\mathit{b}$与 $\mathit{a}-2\mathit{b}$垂直，则实数 $\lambda$的值为（）

等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_{n_{}}$，已知 $a_{m-1}+a_{m+1_{}}-{a_{m_{}}}^2=0$， $S_{2m-1}=38$，则 $m=$

如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱线长为1，线段 $B_1{D}_1$ 上有两个动点 $E$ 、 $F$ ，且 $EF=\frac{1}{2}$ ，则下列结论中错误的是 （）

曲线 $y=x{e}^x+2x+1$在点（0,1）处的切线方程为.

等比数列 $\left\{a_n\right\}$的公比 $q>0$，已知 $a_2=1$， $a_{n+2}+a_{n+1}=6a_n$，则 $\left\{a_n\right\}$的前4项和 $S_4=$.

已知函数 $f\left(x\right)=2\sin \left(\omega x+\phi \right)$的图像如图所示,则 $f\left(\frac{7\pi }{12}\right)=$

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为 $A$ 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为 $B$ 类工人）.现用分层抽样方法（按 $A$ 类， $B$ 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.
（Ⅰ） $A$ 类工人中和 $B$ 类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从 $A$ 类工人中抽查结果和从 $B$ 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：

表2：

（ⅰ）先确定 $x,y$ ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言， $A$ 类工人中个体间的差异程度与 $B$ 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii）分别估计 $A$ 类工人和 $B$ 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。

已知函数 $f\left(x\right)=x^3-3a{x}^2-9a^{2}x+a^3$.

（1）设 $a=1$，求函数 $f\left(x\right)$的极值；
（2）若 $a>\frac{1}{4}$，且当 $x\in \left[1,4a\right]$时， $\left|f`\left(x\right)\right|\le 12a$恒成立，试确定 $a$的取值范围.

对变量 $x,y$ 有观测数据理力争 $\left(x_1,y_1\right)\left(i=1,2,\cdots ,10\right)$ ，得散点图1；对变量 $u,v$ 有观测数据 $\left(u_1,v_1\right)\left(i=1,2,\cdots ,10\right)$ ,得散点图2. 由这两个散点图可以判断 （）