2009高考真题汇编3-数列

已知 $\left\{a_n\right\}$为等差数列， $a_1+a_3+a_5=105,a_2+a_4+a_6=99$，以 $S_n$表示 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，则使得 $S_n$达到最大值的 $n$是(     )

设 $\left\{a_n\right\}$是公差不为0的等差数列， $a_1=2$且 $a_1,a_3,a_6$成等比数列，则 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$=（    ）

等比数列 $\left\{a_n\right\}$中，已知 $a_1=2,a_4=16$.
（I）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）若 $a_3,a_5$分别为等差数列 $\left\{b_n\right\}$的第3项和第5项，试求数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式及前 $n$项和 $S_n$.

设等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ .若 $a_1=1$ , $s_6=4s_3$ ,则 $a_4=$ .

设 $\left\{a_n\right\}$是公差不为零的等差数列， $S_n$为其前 $n$项和，满足 ${a_2}^2+{a_3}^2={a_4}^2+{a_5}^2,S_7=7$.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式及前 $n$项和 $S_n$；

（2）试求所有的正整数 $m$，使得 $\frac{a_m{a}_{m+1}}{a_{m+2}}$为数列 $\left\{a_n\right\}$中的项.

将正$∆ABC$分割成$n^2\left(n\ge 2,n\in N^{*}\right)$个全等的小正三角形(图乙,图丙分别给出了$n=2,3$的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于$∆ABC$的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点$A,B,C$处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为$f\left(n\right)$,则有$f\left(2\right)=2$，$f\left(3\right)=$,… ,$f\left(n\right)=$.

设 $x\in R$记不超过 $x$的最大整数为为 $\left[x\right]$,令 $\left\{x\right\}=x-\left[x\right]$,则 $\left\{\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right\},\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right],\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（）

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$的公比为正数，且 $a_3·a_9=2{a_5}^2$， $a_2=1$，则 $a_1=$（   ）

设数列的通项公式为。数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值。 （1）若，求b₃；  （2）若，求数列的前2m项和公式；（3）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。

首项为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}({a_n}^2+3),n\in N^{*}$.
(Ⅰ)证明：若 $a_1$为奇数，则对一切 $n\ge 2$， $a_n$都是奇数；
(Ⅱ)若对一切 $n\in N^{*}$，都有 $a_{n+1}>a_n$，求 $a_1$的取值范围。

已知等差数列的公差不为零，首项且前项和为.
（I）当时,在数列中找一项,使得成为等比数列,求的值.
（II）当时，若自然数满足并且是等比数列，求的值。

已知数集$A=\left\{a_1,a_2,\cdots a_n\right\}\left(1\le a_1<a_2<\cdots a_n,n\ge 2\right)$具有性质$P$；对任意的
$i,j\left(1\le i\le j\le n\right)$，$a_i{a}_j$与$\frac{a_j}{a_i}$两数中至少有一个属于$A$。
（Ⅰ）分别判断数集$\left\{1,3,4\right\}$与$\left\{1,2,3,6\right\}$是否具有性质$P$，并说明理由；
（Ⅱ）证明：$a_1=1$，且$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{{a_1}^{-1}+{a_2}^{-1}+\cdots {a_n}^{-1}}=a_n$；
（Ⅲ）证明：当$n=5$时，$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$成等比数列。

已知 $\left\{a_n\right\}$是公差为 $p$的等差数列， $\left\{b_n\right\}$是公比为 $q$的等比数列。
（1）若 $a_n=3n+1$，是否存在 $m,n\in N^{*}$，有 $a_m+a_{m+1}=a_k$？请说明理由；
（2）若 $b_n=a{q}^n$（ $a,q$为常数，且 $aq\ne 0$）对任意 $m$存在 $k$，有 $b_m·b_{m+1}=b_k$，试求 $a,q$满足的充要条件；
（3）若 $a_n=2n+1,b_n=3^n$试确定所有的 $p$，使数列 $\left\{b_n\right\}$中存在某个连续 $p$项的和式数列中 $\left\{a_n\right\}$的一项，请证明。

设 $m$个不全相等的正数 $a_1,a_2,...,a_m(m\ge 7)$依次围成一个圆圈。
（Ⅰ）若 $m=2009$，且 $a_1,a_2,...,a_{1005}$是公差为 $d$的等差数列，而 $a_1,a_{2009},a_{2004},...,a_{1005}$是公比为 $q=d$的等比数列；数列 $a_1,a_2,...,a_m$的前 $n$项和 $S_n(n\le m)$满足： $S_3=15,S_{2009}=S_{2007}+12a_1$，求通项 $a_n(n\le m)$；
（Ⅱ）若每个数 $a_n(n\le m)$是其左右相邻两数平方的等比中项，求证： $a_1+...+a_5+{a_7}^2+...+{a_m}^2>m{a}_1{a}_2{a}_m$。

等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差不为零，首项 $a_1=1$， $a_2$是 $a_1$和 $a_5$的等比中项，则数列的前10项之和是（   ）

设数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，对任意的正整数$n$，都有$a_n=5S_n+1$成立，记$b_n=\frac{4+a_n}{1-a_n}(n\in N^{*})$.
（Ⅰ）求数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）设数列$\left\{b_n\right\}$的前$n$项和为$R_n$，是否存在正整数$k$，使得$R_n>4k$成立？若存在，找出一个正整数$k$；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）记$c_n=b_{2n}-b_{2n-1}(n\in N^{*})$，设数列$\left\{c_n\right\}$的前$n$项和为$T_n$，求证：对任意正整数$n$都有$T_n<\frac{3}{2}$.

设数列$\left\{a_n\right\}$的前n项和为$S_n$，对任意的正整数n，都有$a_n=5S_n+1$成立，记$b_n=\frac{4+a_n}{1-a_n}(n\in N*)$。
（Ⅰ）求数列$\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）记$c_n=b_{2n_{}}-b_{2n-1}(n\in N*)$，设数列$\left\{c_n\right\}$的前n项和为$T_n$，求证：对任意正整数n都有$T_n$；
（Ⅲ）设数列$\left\{b_n\right\}$的前n项和为$R_n$。已知正实数$\lambda$满足：对任意正整数$n,R_n\le \lambda n$恒成立，求$\lambda$的最小值。

对于数列 $\left\{u_n\right\}$，若存在常数 $M>0$，对任意的 $n\in N^{+}$，恒有 $\left|u_{n+1}-u_n\right|+\left|u_n-u_{n-1}\right|+...+\left|u_2-u_1\right|\le M$，则称数列 $\left\{u_n\right\}$为 $B-$数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为 $-\frac{1}{2}$的等比数列是否为 $B-$数列？请说明理由；
（Ⅱ）设 $S_n$是数列 $\left\{x_n\right\}$的前 $n$项和，给出下列两组判断：
A组：①数列 $\left\{x_n\right\}$是 $B-$数列；②数列 $\left\{x_n\right\}$不是 $B-$数列；
B组：③数列 $\left\{S_n\right\}$是 $B-$数列；④数列 $\left\{S_n\right\}$不是 $B-$数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅲ）若数列 $\left\{a_n\right\}$是 $B-$数列，证明：数列 $\left\{{a_n}^2\right\}$也是 $B-$数列.

已知等差数列的前项和为,若,,则它的首项与公差分别是(     )

A．

B．

C．

D．以上都不对

各项均为正数的数列$\left\{a_n\right\}$，$a_1=a,a_2=b$，且对满足$m+n=p+q$的正整数$m,n,p,q$都有$\frac{a_m+a_n}{\left(1+a_m\right)\left(1+a_n\right)}=\frac{a_p+a_q}{\left(1+a_p\right)\left(1+a_q\right)}$.
（1）当$a=\frac{1}{2},b=\frac{4}{5}$时，求通项$a_n$；
（2）证明：对任意$a$，存在与$a$有关的常数$\lambda$，使得对于每个正整数$n$，都有$\frac{1}{\lambda }\le a_n\le \lambda$.