2008年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）

已知 $0<a<2$ ，复数 $z$ 的实部为 $a$ ，虚部为 则 $\left|z\right|$ 的取值范围是

记等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$若 $a_1=\frac{1}{2},S_4=20$,则 $S_6=$

某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为 （）

若变量 $x,y$满足 $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}2x+y\le 40\\ x+2y\le 50\\ x\ge 0\end{array}\\ y\ge 0\end{array}\right.$则 $z=3x+2y$的最大值是（）

将正三棱柱截去三个角（如图1所示 $A,B,C$ 分别是 $△CHI$ 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为

A．

B．

C．

D．

已知命题 $p$：所有有理数都是实数，命题 $q$：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是

设 $a\in R$，若函数 $y=e^{2x}+3x,x\in R$有大于零的极值点，则

在平行四边形 $ABCD$中， $AC$与 $BD$交于点 $O$， $E$是线段 $OD$的中点， $AE$的延长线与 $CD$交于点 $F$，若 $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=a$， $\stackrel{\rightharpoonup }{BD}=b$，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{AF}=$

阅读如图的程序框图。若输入 $m=4,n=6$ 则输出 $a=$

已知 ${\left(1+k{x}^2\right)}^6$( $k$是正整数)的展开式中， $x^3$的系数小于 $120$，则 $k=$.

经过圆 $x^2+2x+y^2=0$的圆心 $C$，且与直线 $x+y=0$垂直的直线方程是。

已知函数 $f\left(x\right)=\left(\sin x-\cos x\right)\sin x,x\in R$，则 $f\left(x\right)$的最小正周期是。

已知曲线 $C_1,C_2$的极坐标方程分别为 $\rho \cos \theta =3,\rho =4\cos \theta (\rho \ge 0,0\le \theta <\frac{\pi }{2})$则曲线 $C_1$与 $C_2$交点的极坐标为.

已知 $a\in R$若关于 $x$的方程 $x^2=x+\left|a-\frac{1}{4}\right|+\left|a\right|=0$有实根，则 $a$的取值范围是。

已知 $PA$是圆 $O$的切线，切点为 $A$， $PA=2$. $AC$是圆 $O$的直径， $PC$与圆 $O$交于点 $B$， $PB=1$，则圆 $O$的半径为 $R=$.

已知函数 $f\left(x\right)=A\sin (x+\phi )(A>0,0<\phi <\pi ),x\in R$的最大值是1，其图像经过点 $M(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2})$.

（1）求 $f\left(x\right)$的解析式；
（2）已知 $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$且 $f\left(\alpha \right)=\frac{3}{5},f\left(\beta \right)=\frac{12}{13}$求 $f(\alpha -\beta )$的值.

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润(单位：万元)为 $\zeta$。
（1）求 $\zeta$的分布列；
（2）求1件产品的平均利润(即 $\zeta$的数学期望)；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

设 $b>0$ ,椭圆方程为 $\frac{x^2}{2b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ,抛物线方程为 $x^2=8\left(y-b\right)$ .如图所示，过点 $F\left(0,b+2\right)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$ .已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_1$ 。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 $A,B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $∆ABP$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

设 $k\in R$函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-x},& x<1,\\ -\sqrt{x-1},& x\ge 1,\end{array}\right.$ $F\left(x\right)=f\left(x\right)-kx,x\in R$试讨论函数 $F\left(x\right)$的单调性。

如图所示,四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形,其中 $BD$ 是圆的直径, $\angle ABD={60}^{°}$ , $\angle BDC={45}^{°}$ , $PD$ 垂直底面 $ABCD$ , $PD=2\sqrt{2}R,E,F$ 分别是 $PB,CD$ 上的点,且 $\frac{PE}{EB}=\frac{DF}{FC}$ ,过点 $E$ 作 $BC$ 的平行线交 $PC$ 于 $G$ .
（1）求 $BD$ 与平面 $ABP$ 所成角 $\theta$ 的正弦值
（2）证明: $△EFG$ 是直角三角形；
（3）当 $\frac{PE}{EB}=\frac{1}{2}$ 时,求 $△EFG$ 的面积.

设 $p,q$为实数, $\alpha ,\beta$是方程 $x^2-px+q=0$的两个实根,数列 $\left\{x_n\right\}$满足 $x_1=p$, $x_2=p^2-q$, $x_n=p{x}_{n-1}-q{x}_{n-2}(n=3,4,...)$.
（1）证明: $\alpha +\beta =p$, $\alpha \beta =q$

（2）求数列 $\left\{x_n\right\}$的通项公式;
（3）若 $p=1,q=\frac{1}{4}$,求 $\left\{x_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$.