2008年全国统一高考理科数学试卷（湖北卷）

设 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(1,-2),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-3,4),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(3,2)$ ，则 $(\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b})·\stackrel{\rightharpoonup }{c}=$ （）

若非空集合 $A,B,C$满足 $A\cup B=C$，且 $B$不是 $A$的子集，则

用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 $\pi$，则球的休积为

函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\ln \left(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{-x^2-3x+4}\right)$的定义域为（）

将函数 $y=3\sin \left(x-\theta \right)$的图象 $F$按向量 $\left(\frac{\pi }{3},3\right)$平移得到图象 $F^{`}$,若 $F^{`}$的一条对称轴是直线 $x=\frac{\pi }{4}$,则 $\theta$的一个可能取值是（）

将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为

若 $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+b\ln \left(x+2\right)在\left(-1,+\infty \right)$上是减函数,则 $b$的取值范围是（）

已知 $m\in N^{*}$， $a,b\in R$，若 $\frac{(1+x{)}^m+a}{x}=b$，则 $a·b=$

过点 $A\left(11,2\right)$作圆 $x^2+y^2+2x-4y-164=0$的弦,其中弦长为整数的共有（）

如图所示，"嫦娥一号"探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 $F$ 轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 $P$ 点第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 $2c_1$ 和 $2c_2$ 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 $2a_1$ 和 $2a_2$ 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
① $a_1+c_1=a_2+c_2$ ；② $a_1-c_1=a_2-c_2$ ；③ $c_1{a}_2＞a_1{c}_1$ ；④ $\frac{c_1}{a_1}<\frac{c_2}{a_2}$

其中正确式子的序号是 （）

设 $Z_2=Z_1-\overline{Z_1}$(其中 $\overline{Z_1}$表示 _{$Z_1$}的共轭复数)，已知 $Z_2$的实部是-1，则 $Z_2$的虚部为.

在 $△ABC$ $△ABC$中，三个角 $A,B,C$的对边边长分别为 $a=3,b=4,c=6$,则 $bc\cos A+ca\cos B+ab\cos C$的值为.

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+2x+a$， $f\left(bx\right)=9x-6x+2$，其中 $x\in R$， $a,b$为常数，则方程 $f(ax+b)=0$的解集为。

已知函数 $f\left(x\right)=2^x$，等差数列 $\left\{a_x\right\}$的公差为2。若 $f\left(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}\right)=4$，则 ${\log }_2\left[f\left(a_1\right)·f\left(a_2\right)·f\left(a_3\right)·\cdots ·f\left(a_{10}\right)\right]=$。

观察下列等式：
$$\begin{gathered} \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}i=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n \\ \underset{i=1}{\overset{n}{\sum i^2}}=\frac{1}{3}{n}^2+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n, \\ \underset{i=1}{\overset{n}{\sum i^3}}=\frac{1}{4}{n}^2+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{4}{n}^2, \end{gathered}$$

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{i}^4=\frac{1}{5}{n}^4+\frac{1}{2}{n}^4+\frac{1}{3}{n}^3-\frac{1}{30}n,$

$\frac{2}{3}{a}_n+n-4,b_n={\left(-1\right)}^n\left(a_n-3n+21\right),$……………………………………
$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{i}^n=a_{k+1}{n}^{k+2}+a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+a_{k-2}{n}^{k-2}+\dots +a_{1}n+a_0,$可以推测，当 $x\ge 2\left(k\in N^{*}\right)$时， $a_{k+1}=\frac{1}{k+1},a_k=\frac{1}{2},a_{k-1}=$， $a_{k-2}$=。

已知函数f(t)= $f\left(t\right)=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$, $g\left(x\right)=cosx·f\left(sinx\right)+sinx·f\left(cosx\right)$, $x\in (\mathrm{\pi },\frac{17\mathrm{\pi }}{12})$.

（Ⅰ）将函数 $g\left(x\right)$化简成 $A\sin (\omega x+\phi )+B（A＞0，\omega ＞0，\phi \in [0，2\pi ]）$的形式；
（Ⅱ）求函数 $g\left(x\right)$的值域。

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上 $n$号的有 $n$个（ $n$=1,2,3,4）。现从袋中任取一球. $\xi$表示所取球的标号.
（Ⅰ）求 $\xi$的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若 $\eta =a\xi -b,E\eta =1,D\eta =11$，试求 $a,b$的值。

如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，平面 $A_{1}BC\perp$ 侧面 $A_{1}AB{B}_1$

$\left(I\right)$ 求证 $AB\perp CD$

$\left(II\right)$ （若直线 $AC$ 与平面 $A_{1}BC$ 所成的角为 $\theta$ ，二面角 $A_1-BC-A$ 的大小为 $\phi$ ，试判断 $\theta$ 与 $\phi$ 的大小关系，并予以证明。

如图，在以点 $O$为圆心， $\left(AB\right)=4$为直径的半圆 $ADB$中， $OD\perp AB$， $P$是半圆弧上一点， $\angle POB={30}^{°}$，曲线 $C$是满足 $\left(\left(MA\right)-\left(MB\right)\right)$为定值的动点 $M$的轨迹，且曲线 $C$过点 $P$.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 $C$的方程；
（Ⅱ）设过点 $D$的直线 $l$与曲线 $C$相交于不同的两点 $E,F$.若 $△OEF$的面积不小于 $2\sqrt{2}$，求直线 $l$斜率的取值范围.

水库的蓄水量随时间而变化，现用 $t$表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
$V\left(t\right)$= $\left\{\begin{array}{l}\left(-t^2+14t-40\right)e^{\frac{1}{t}}+50,0<t\le 10\\ 4\left(t-10\right)\left(3t-41\right)+50,10<t\le 12\end{array}\right.$。
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期，以 $i-1<t$, $t$表示第1月份（ $i$=1,2,…,12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 $e$=2.7计算）

已知数列 $\left\{a_n\right\}$和 $\left\{b_n\right\}$满足： $a_1=\lambda ,a_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n+n-4,b_n=(-1{)}^n(a_n-3n+21)$其中 $\lambda$为实数， $n$为正整数。
（Ⅰ）对任意实数 $\lambda$，证明数列 $\left\{a_n\right\}$不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列 $\left\{b_n\right\}$是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设 $0<a<b$， $S_n$为数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和。是否存在实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$，都有 $a<S_n<b$?若存在，求 $\lambda$的取值范围；若不存在，说明理由。