2008年全国统一高考理科数学试卷（福建卷）

若复数 $\left(a^2-3a+2\right)+\left(a-1\right)i$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为 （）

设集合 $A=\left\{\overline{)x}\frac{x}{x-1}<0\right\},B=\left\{\overline{)x}0<x<3\right\}$,那么" $m\in A$"是" $m\in B$"的（）

设 $\left\{a_n\right\}$是公比为正数的等比数列，若 $a_1=1,a_5=16$，则数列 $\left\{a_n\right\}$的前7项的和为（）

函数 $f\left(x\right)=x^3+\sin x+1(x\in R)$，若 $f\left(a\right)=2$，则 $f(-a)$的值为（&#xa0;&#xa0;&#xa0;）

某一批花生种子，如果每 $1$粒发芽的概率为 $\frac{4}{5}$，那么播下 $4$粒种子恰有 $2$粒发芽的概率是（）

如图,在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中, $AB=BC=2,A{A}_1=1$,则 $B{C}_1$与平面 $B{B}_1{D}_{1}D$所成角的正弦值为 （）

某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）

若实数 $x,y$满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1\le 0\\ x>0\end{array}\right.$则 $\frac{y}{x}$的取值范围是（）

函数 $f\left(x\right)=\cos x$ $\left(x\in R\right)$的图象按向量 $\left(m,0\right)$平移后，得到函数 $y=f^{`}\left(x\right)$的图象，则 $m$的值可以为（）

在 $△ABC$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$，若 $(a^2+c^2-b^2)\tan B=\sqrt{3}ac$，则角 $B$的值为（ ）

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的两个焦点为 $F_1,F_2$，若 $P$为其上一点，且 $\left|P{F}_1\right|=2\left|P{F}_2\right|$,则双曲线离心率的取值范围为（ ）

已知函数 $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$的导函数的图象如下图，那么 $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$的图象可能是（   ）

若 $(x-2{)}^5=a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$，则 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=$.(用数字作答)

若直线 $3x+4y+m=0$与圆 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos \theta \\ y=2+\sin \theta \end{array}\right.$( $\theta$为参数）没有公共点，则实数 $m$的取值范围是.

若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为 $\sqrt{3}$，则其外接球的表面积是.

设 $P$是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 $a,b\in R$，都有 $a+b,a+b,ab,\frac{a}{b}\in R\left(\mathrm{除数}b\ne 0\right)$,则称 $P$是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集 $F=\left\{\overline{)a+\sqrt{2}b}a,b\in Q\right\}$也是数域.有下列命题：
①整数集是数域； ②若有理数集 $Q\subseteq M$，则数集 $M$必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域。
其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号填填上）

已知向量 $m=(\sin A,\cos A)$， $n=(\sqrt{3},-1)$， $m·n=1$，且 $A$ 为锐角。
（Ⅰ）求角 $A$的大小；

（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)==\cos 2x+4\cos A\sin x(x\in R)$的值域。

如图，在四棱锥 $P-ABCD$中，则面 $PAD\perp$底面 $ABCD$，侧棱 $PA=PD=\sqrt{2}$，底面 $ABCD$为直角梯形，其中 $BC//AD,AB\perp AD,AD=2AB=2BC=2$， $O$为 $AD$中点.

（Ⅰ）求证： $PO\perp$平面 $ABCD$；
（Ⅱ）求异面直线 $PD$与 $CD$所成角的大小；
（Ⅲ）线段 $AD$上是否存在点 $Q$，使得它到平面 $PCD$的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$？若存在，求出 $\frac{AQ}{QD}$的值；若不存在，请说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2$。
　　（Ⅰ）设 $\left\{a_n\right\}$是正数组成的数列，前 $n$项和为 $S_n$，其中 $a_1=3$，若点 $\left(n\in N^{*}\right)$在函数 $y=f^{`}\left(x\right)$的图象上，求证：点 $\left(n,S_n\right)$也在 $y=f^{`}\left(x\right)$的图象上；
　　（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)$在区间 $\left(a-1,a\right)$ 内的极值。

某项考试按科目 $A$、科目 $B$依次进行，只有当科目 $A$成绩合格时，才可继续参加科目 $B$的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{2}{3}$，科目 $B$每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{1}{2}$，假设各次考试成绩合格与否均互不影响。
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 $\xi$，求 $\xi$的数学期望 $E\xi$。

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个焦点是 $F(1,0)$ ， $O$ 为坐标原点。
　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，值有 $|OA{|}^2+|OB{|}^2<|AB{|}^2$ ，求 $a$ 的取值范围。

已知函数 $f\left(x\right)=\ln (1+x)-x_1$

（Ⅰ）求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（Ⅱ）记 $f\left(x\right)$在区间 $\left[0,\pi \right]$（ $n\in N^{*}$）上的最小值为 $b_x$令 $a_n=\ln (1+n)-b_x$.
（ⅰ）如果对一切 $n$，不等式 $\sqrt{a_n}<\sqrt{a_{n-2}}-\frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}}$恒成立，求实数 $c$的取值范围；
（ⅱ）求证： $\frac{a_1}{a_3}+\frac{a_1{a}_3}{a_2{a}_4}+...+\frac{a_1{a}_3...a_{2n-1}}{a_2{a}_4...a_{2n}}<\sqrt{2a_n+1}-1$.