2008年全国统一高考文科数学试卷（辽宁卷）

已知集合 $M=\left\{x\right|-3<x<1\}$， $N=\left\{x\right|x\le -3\}$，则 $M\cup N=$（    ）

若函数 $y=(x+1)(x-a)$为偶函数，则 $a=$（  ）

圆 $x^2+y^2=1$与直线 $y=kx+2$没有公共点的充要条件是（   ）

已知 $0<a<1$， $x={\log }_a\sqrt{2}+{\log }_a\sqrt{3}$， $y={\log }_{a}5$， $z={\log }_z\sqrt{21}-{\log }_a\sqrt{3}$，则（）

已知四边形 $ABCD$的三个顶点 $A(0,2)$， $B(-1,-2)$， $C(3,1)$，且 $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=2\stackrel{\rightharpoonup }{AD}$，则顶点 $D$的坐标为（  ）

设 $P$为曲线 $C:y=x^2+2x+3$上的点，且曲线 $C$在点 $P$处切线的倾斜角的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，则点 $P$横坐标的取值范围为（  ）

4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（   ）

将函数 $y=2^x+1$的图象按向量 $\mathit{a}$平移得到函数 $y=2^{x+1}$的图象,则（）

已知变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}y+x-1\le 0\\ y-3x-1\le 0\\ y-3x-1\ge 0\end{array}\\ \end{array}\right.$,则 $z=2x+y$的最大值为（）

一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（   ）

已知双曲线 $9y^2-m^2{x}^2=1(m>0)$的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 $\frac{1}{5}$，则 $m=$（ ）

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $E,F$分别为棱 $A{A}_1,C{C}_1$的中点，则在空间中与三条直线 $A_1{D}_1,EF,CD$都相交的直线（  ）

函数 $y=e^{2x+1}\left(-\infty <x<+\infty \right)$的反函数是    ．

在体积为 $4\sqrt{3}\pi$的球的表面上有 $A,B,C$三点， $AB=1,BC=\sqrt{2}$， $A,C$两点的球面距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，则球心到平面 $ABC$的距离为．

$\left(1+x^3\right){\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$展开式中的常数项为.

设 $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则函数 $y=\frac{2{\sin }^{2}x+1}{\sin 2x}$的最小值为    .

在 $△ABC$中，内角 $A,B,C$对边的边长分别是 $a,b,c$，已知 $c=2$， $C=\frac{\pi }{3}$．

（Ⅰ）若 $△ABC$的面积等于 $\sqrt{3}$，求 $a,b$；

（Ⅱ）若 $\sin B=2\sin A$，求 $△ABC$的面积．

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计,最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅰ）根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．

如图，在棱长为1的正方体 $ABCD-A^{`}{B}^{`}{C}^{`}{D^{`}}_{}$ 中， $AP=BQ=b\left(0<b<1\right)$ ，截面 $PQEF\parallel A^{`}D$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $PQEF$ 和平面 $PQGH$ 互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面 $PQEF$ 和截面 $PQGH$ 面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若 $b=\frac{1}{2}$ ，求 $D^{`}E$ 与平面 $PQEF$ 所成角的正弦值．

数列 $\left|a_n\right|$， $\left|b_n\right|$是各项均为正数的等比数列，设 $c_n=\frac{b_n}{a_n}\left(n\in N^{*}\right)$．

（Ⅰ）数列 $\left|c_n\right|$是否为等比数列？证明你的结论；

（Ⅱ）设数列 $\left|\ln a_n\right|,\left|\ln b_n\right|$的前 $n$项和分别为 $S_n,T_n$．若 $a_1=2,\frac{S_n}{T_n}=\frac{n}{2n+1}$，求数列 $\left|c_n\right|$的前 $n$项和．

在平面直角坐标系 $xoy$中，点 $P$到两点 $\left(0,\sqrt{3}\right)$， $\left(0,-\sqrt{3}\right)$的距离之和等于4，设点 $P$的轨迹为 $C$．
（Ⅰ）写出 $C$的方程；
（Ⅱ）设直线 $y=kx-1$与 $C$交于 $A$， $B$两点． $k$为何值时 $\underset{OA}{\to }$ $\perp$ $\underset{OB}{\to }$？此时 $\left|\underset{AB}{\to }\right|$的值是多少？

设函数 $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2-3a^{2}x+1$ $(a,b\in R)$在 $x=x_1$， $x=x_2$处取得极值，且 $\left|x_1-x_2\right|=2$．
（Ⅰ）若 $a=1$，求 $b$的值，并求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（Ⅱ）若 $a>0$，求 $b$的取值范围．