2010年全国统一高考理科数学试卷（四川卷）

$i$ 是虚数单位，计算 $i+i^2+i^3=$ (  )

下列四个图像所表示的函数，在点 $x=0$ 处连续的是（  ）

$2{\log }_{5}10＋{\log }_{5}0.25＝$（）

函数 $f\left(x\right)=x^2+mx+1$的图像关于直线 $x=1$对称的充要条件是

设点$M$是线段$BC$的中点，点$A$在直线$BC$外，${\overrightarrow{BC}}^2=16,\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|$则$\left|\overrightarrow{AM}\right|$=(  )

已知数列 $\left\{a_n\right\}$的首项 $a_1\ne 0$，其前 $n$项的和为 $S_n$，且 $S_{n+1}=2S_n+a_1$，则 $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{a_n}{S_n}=$（   ）

半径为 $R$ 的球 $O$ 的直径 $AB$ 垂直于平面 $\alpha$ ,垂足为 $B$ , $∆BCD$ 是平面 $\alpha$ 内边长为 $R$ 的正三角形,线段 $AC$ $、$ $AD$ 分别与球面交于点 $M,N$ ,那么 $M、N$ 两点间的球面距离是（  ）

设$a>b>c>0$，则$2a^2+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2$的最小值是（）

$(2-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}{)}^5$的展开式中的第四项是   .

直线$x-2y+5=0$与圆$x^2+y^2=8$相交于$A,B$两点，则$\left|AB\right|=$.

如图，二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小是60°，线段 $AB\subset \alpha ,B\in l$ .
$AB$ 与 $l$ 所成的角为30°.则 $AB$ 与平面 $\beta$ 所成的角的正弦值是   .

设$S$为复数集$C$的非空子集.若对任意$x,y\in S$，都有$x+y,x-y,xy\in S$，则称$S$为封闭集。下列命题：
①集合$S=\left\{\overline{)a+bi}\right(a,b$为整数，$i$为虚数单位$\left)\right\}$为封闭集；
②若$S$为封闭集，则一定有$0\in S$；
③封闭集一定是无限集；
④若$S$为封闭集，则满足$S\subseteq T\subseteq C$的任意集合$T$也是封闭集.
其中真命题是（写出所有真命题的序号）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有"奖励一瓶"或"谢谢购买"字样，购买一瓶若其瓶盖内印有"奖励一瓶"字样即为中奖，中奖概率为 $\frac{1}{6}$.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数 $\xi$的分布列及数学期望 $E\xi$.

已知正方体 $ABCD－A`B`C`D`$ 的棱长为1，点 $M$ 是棱 $AA`$ 的中点，点O是对角线 $BD`$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $OM$ 为异面直线 $AA`$ 和 $BD`$ 的公垂线；
（Ⅱ）求二面角 $M－BC`－B`$ 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 $M－OBC$ 的体积.

1、证明两角差的余弦公式；
2、由推导两角和的余弦公式.
3、已知△ABC的面积，且，求.

已知定点 $A\left(-1,0\right),F\left(2,0\right)$,定直线 $l$: $x=\frac{1}{2}$,不在 $x$轴上动点 $P$与点 $F$的距离是它到直线 $l$的距离的2倍.设点 $P$的轨迹为 $E$,过点 $F$的直线交 $E$于 $B、C$两点,直线 $AB、AC$分别交 $l$于点 $M、N$

（Ⅰ）求 $E$的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 $MN$为直径的圆是否过点 $F$,并说明理由.

已知数列$\left\{a_n\right\}$满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意$m,n\in N*$都有$a_{2m－1}＋a_{2n－1}＝2a_{m＋n－1}＋2(m－n)2$
（Ⅰ）求$a_3,a_5$；
（Ⅱ）设$b_n＝a_{2n＋1}－a_{2n－1}(n\in N^{*})$，证明：$\left\{b_n\right\}$是等差数列；
（Ⅲ）设$c_n＝(a_{n+1}－a_n)q^{n－1}(q\ne 0，n\in N^{*})$，求数列$\left\{c_n\right\}$的前n项和$S_n$.

设 $f\left(x\right)=\frac{1+a^x}{1-a^x}(a>0且a\ne 1)$， $g\left(x\right)$是 $f\left(x\right)$的反函数.
（Ⅰ）设关于 $x$的方程求 ${\log }_a\frac{t}{(x^2-1)(7-x)}=g\left(x\right)$在区间 $\left[2,6\right]$上有实数解，求 $t$的取值范围；
（Ⅱ）当 $a＝e$（e为自然对数的底数）时，证明： $\underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}g\left(k\right)>\frac{2-n-n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$；
（Ⅲ）当 $0＜a\le \frac{1}{2}$时，试比较 $\left|\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}f\left(k\right)-n\right|$与4的大小，并说明理由.

半径为 $R$的球 $O$的直径 $AB$垂直于平面 $\alpha$，垂足为 $B$， $△BCD$是平面 $\alpha$内边长为 $R$的正三角形，线段 $AC,AD$分别与球面交于点 $M,N$，那么 $M,N$两点间的球面距离是

由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是   .

将函数$y=\sin x$的图像上所有的点向右平行移动$\frac{\mathrm{\pi }}{10}$个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）

某加工厂用某原料由甲车间加工出$A$产品,由乙车间加工出$B$产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克$A$产品,每千克$A$产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克$B$产品,每千克$B$产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为