2013年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）

设集合 $M=\left\{x\right|x^2+2x=0,x\in R\}$, $N=\left\{x\right|x^2-2x=0,x\in R\}$,则 $M\cup N=$(  )

定义域为 $R$的四个函数 $y=x^3,y=2^x,y=x^2+1,y=2\sin x$中,奇函数的个数是（）

A．

B．

C．

D．

若复数 $z$满足 $iz=2+4i$,则在复平面内, $z$对应的点的坐标是(  )

已知离散型随机变量 $X$的分布列为

则 $X$的数学期望 $EX=$(  )

某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 (   )

设 $m,n$是两条不同的直线, $\alpha ,\beta$是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）

已知中心在原点的双曲线 $C$的右焦点为 $F(3,0)$,离心率等于 $\frac{3}{2}$,在双曲线 $C$的方程是 (  )

设整数 $n\ge 4$,集合 $X=\left\{1,2,3,...,n\right\}$.令集合 $S=\left\{\left(x,y,z\right)x,y,z\in X,\mathrm{且三条件}x<y<z,y<z<x,z<x<y\mathrm{恰有一个成立}|\right\}$&#xa0;若 $\left(x,y,z\right)$和 $\left(z,w,x\right)$都在 $S$中,则下列选项正确的是(  )

不等式 $x^2+x-2<0$的解集为．

若曲线 $y=kx+\ln x$在点 $(1,k)$处的切线平行于 $x$轴,则 $k=$.

执行如图所示的程序框图,若输入 $n$的值为,则输出 $s$的值为.

在等差数列 $\left\{a_n\right\}$中,已知 $a_3+a_8=10$,则 $3a_5+a_7$ $=$.

给定区域 $D$: $\left\{\begin{array}{c}x+4y⩾4\\ x+y⩽4\\ x⩾0\end{array}\right.$,令点集 $T=\left\{\overline{)\left(x_0,y_0\right)\in D}{x}_0,y_0\in Z,\left(x_0,y_0\right)是z=x+y在D\mathrm{上取得最大值或最小值的点}\right\}$,则 $T$中的点共确定条不同的直线.

已知曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\cos t\\ y=\sqrt{2}\sin t\end{array}\right.$( $t$为参数), $C$在点 $\left(1,1\right)$处的切线为 $l$,以坐标原点为极点, $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 $l$的极坐标方程为.

如图, $AB$是圆 $O$的直径,点 $C$在圆 $O$上,延长 $BC$到 $D$使 $BC=CD$,过 $C$作圆 $O$的切线交 $AD$于 $E$.若 $AB=6$, $ED=2$,则 $BC=$.

已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{12}),x\in R$.
(Ⅰ) 求 $f(-\frac{\pi }{6})$的值；
(Ⅱ) 若 $\cos \theta =\frac{3}{5},\theta \in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$,求 $f(2\theta +\frac{\pi }{3})$．

某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；
(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.

如图①,在等腰直角三角形 $ABC$中, $\angle A=90°$, $BC=6$, $D,E$分别是 $AC,AB$上的点, $CD=BE=\sqrt{2}$, $O$为 $BC$的中点.将 $△ADE$沿 $DE$折起,得到如图②所示的四棱锥 $A`-BCDE$,其中 $A`O=\sqrt{3}$.

(Ⅰ) 证明: $A`O\perp \mathrm{平面}BCDE$；
(Ⅱ) 求二面角 $A`-CD-B$的平面角的余弦值.

设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$.已知 $a_1=1,\frac{2S_n}{n}=a_{n+1}-\frac{1}{3}{n}^2-n-\frac{2}{3},n\in N^{+}$.
(Ⅰ) 求 $a_2$的值；
(Ⅱ) 求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
(Ⅲ) 证明:对一切正整数 $n$,有 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}<\frac{7}{4}$.

已知抛物线 $C$的顶点为原点,其焦点 $F(0,c)(c>0)$到直线 $l:$ $x-y-2=0$的距离为 $\frac{3}{2}\sqrt{2}$.设 $P$为直线 $l$上的点,过点 $P$作抛物线 $C$的两条切线 $PA,PB$,其中 $A,B$为切点
(Ⅰ) 求抛物线 $C$的方程；
(Ⅱ) 当点 $P(x_0,y_0)$为直线上的定点时,求直线 $AB$的方程；
(Ⅲ) 当点 $P$在直线 $l$上移动时,求 $\left|AF\right|·\left|BF\right|$的最小值.

设函数 $f\left(x\right)=(x-1)e^x-k{x}^2$(其中 $k\in R$).
(Ⅰ) 当 $k=1$时,求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；
(Ⅱ) 当 $k\in (\frac{1}{2},1]$时,求函数 $f\left(x\right)$在 $[0,k]$上的最大值 $M$.