2013年全国统一高考文科数学试卷（广东卷）

设集合 $S=\left\{\overline{)x}{x}^2+2x=0,x\in R\right\},T=\left\{\overline{)x}{x}^2-2x=0,x\in R\right\}$,则 $S\cap T=$（）

函数 $f\left(x\right)=\frac{lg(x+1)}{x-1}$的定义域是(   )

若 $i(x+yi)=3+4i$， $x,y\in R$，则复数 $x+yi$的模是(    )

已知 $\sin \left(\frac{5\pi }{2}+\alpha \right)=\frac{1}{5}$,那么 $\cos \alpha =$（）

执行如图所示的程序框图，若输入 $n$的值为 $3$，则输出 $s$的值是（）

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）

垂直于直线 $y=x+1$且与圆 $x^2+y^2=1$相切于第一象限的直线方程是(   )

设 $l$为直线， $\alpha ,\beta$是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

已知中心在原点的椭圆 $C$的右焦点为 $F(1,0)$，离心率等于 $\frac{1}{2}$，则 $C$的方程是（）

设 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$是已知的平面向量且 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}\ne \stackrel{\rightharpoonup }{0}$，关于向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$的分解，有如下四个命题：
①给定向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$，总存在向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$，使 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{b}+\stackrel{\rightharpoonup }{c}$；

②给定向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$和 $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$，总存在实数 $\lambda$和 $\mu$，使 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{b}+\mu \stackrel{\rightharpoonup }{c}$；
③给定单位向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$和正数 $\mu$，总存在单位向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$和实数 $\lambda$，使 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{b}+\mu \stackrel{\rightharpoonup }{c}$；
④给定正数 $\lambda$和 $\mu$，总存在单位向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$和单位向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$，使 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\lambda \stackrel{\rightharpoonup }{b}+\mu \stackrel{\rightharpoonup }{c}$；
上述命题中的向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$， $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$和 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）

设数列 $\left\{a_n\right\}$是首项为，公比为 $-2$的等比数列，则 $a_1+\left|a_2\right|+a_3+\left|a_4\right|=$.

若曲线 $y=a{x}^2-\ln x$在点 $(1,a)$处的切线平行于 $x$轴，则 $a=$.

已知变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x-y+3\ge 0\\ -1\le x\le 1\\ y\ge 1\end{array}$，则 $z=x+y$的最大值是．

已知曲线 $C$的极坐标方程为 $\rho =2\cos \theta$．以极点为原点，极轴为 $x$轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 $C$的参数方程为．

如图，在矩形 $ABCD$中， $AB=\sqrt{3},BC=3,BE\perp AC$，垂足为 $E$，则 $ED=$．

已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi }{12}),x\in R$．
(1) 求 $f\left(\frac{\pi }{3}\right)$的值；
(2) 若 $\cos \theta =\frac{3}{5},\theta \in (\frac{3\pi }{2},2\pi )$，求 $f(\theta -\frac{\pi }{6})$．

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 $[90,95)$的频率；
(2) 用分层抽样的方法从重量在 $[80,85)$和 $[95,100)$的苹果中共抽取4个，其中重量在 $[80,85)$的有几个？
(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在 $[80,85)$和 $[95,100)$中各有1个的概率．

如图①，在边长为1的等边三角形 $ABC$中， $D,E$分别是 $AB,AC$边上的点， $AD=AE$， $F$是 $BC$的中点， $AF$与 $DE$交于点 $G$，将 $△ABF$沿 $AF$折起，得到如图②所示的三棱锥 $A-BCF$，其中 $BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 证明： $DE//$平面 $BCF$；
(2) 证明： $CF\perp$平面 $ABF$；
(3) 当 $AD=\frac{2}{3}$时，求三棱锥 $F-DEG$的体积 $V_{F-DEG}$．

设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，满足 $4S_n=a_{n+1}^2-4n-1,n\in N^{*}$,且 $a_2,a_5,a_{14}$构成等比数列．
(1) 证明： $a_2=\sqrt{4a_1+5}$；
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 $n$，有 $\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_2{a}_3}+...+\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}<\frac{1}{2}$．

已知抛物线 $C$的顶点为原点，其焦点 $F\left(0,c\right)\left(c>0\right)$到直线 $l:x-y-2=0$的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$．设 $P$为直线 $l$上的点，过点 $P$作抛物线 $C$的两条切线 $PA,PB$，其中 $A,B$为切点．
(1) 求抛物线 $C$的方程；
(2) 当点 $P\left(x_0,y_0\right)$为直线 $l$上的定点时，求直线 $AB$的方程；
(3) 当点 $P$在直线 $l$上移动时，求 $\left|AB\right|·\left|BF\right|$的最小值．

设函数 $f\left(x\right)=x^3-k{x}^2+x\left(x\in R\right)$．
(1) 当 $k=1$时,求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；
(2) 当 $k<0$时,求函数 $f\left(x\right)$在 $\left[k,-k\right]$上的最小值 $m$和最大值 $M$．