2013年全国统一高考文科数学试卷（全国Ⅱ卷）

已知集合 $M=\left\{x|-3<x<1\right\},N=\left\{-3,-2,-1,0,1\right\}$,则 $M\cap N=$（）

$\left|\frac{2}{1+i}\right|=$（  ）

设 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x-y+1\ge 0,\\ x+y-1\ge 0,\\ x\le 3,\end{array}\\ \end{array}\right.$，则 $z=2x-3y$的最小值是（）

$∆ABC$的内角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$,已知 $b=2,B=\frac{\pi }{6},C=\frac{\pi }{4}$，则 $∆ABC$的面积为（）

设椭圆C： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1$、 $F_2$，P是C上的点， $P{F}_2$⊥ $F_1$ $F_2$， $\angle P{F}_1{F}_2=30°$，则C的离心率为（）

已知 $\sin 2a=\frac{2}{3}$，则 ${\cos }^2(a+\frac{\pi }{4})$=（  ）

执行如图的程序框图，如果输入的 $N=4$，那么输出的 $S=$（）

设 $a={\log }_{3}2,b={\log }_{5}2,c={\log }_{2}3$,则（  ）

一个四面体的顶点在空间直角坐系 $O-xyz$中的坐标分别是（1,0,1），（1,1,0）,（0,1,1）,（0,0,0），画该四面体三视图中的正视图时，以 $zOx$平面为投影面，则得到的正视图可为（）

设抛物线 $C:y^2=4x$的焦点为 $F$,直线 $l$过 $F$且与 $C$交于 $A,B$两点.若 $\left|AF\right|=3\left|BF\right|$,则 $l$的方程为（）

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$,下列结论中错误的是（）

若存在正数 $x$使 $2^x(x-a)<1$成立，则 $a$的取值范围是（  ）

从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为.

已知正方形 $ABCD$的边长为2， $E$为 $CD$的中点，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{AE}·\stackrel{\rightharpoonup }{BD}$=.

已知正四棱锥 $O-ABCD$的体积为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，底面边长为 $\sqrt{3}$，则以 $O$为球心， $OA$为半径的球的表面积为.

函数 $y=\cos \left(2x+\phi \right)\left(-\pi \le \phi <\pi \right)$的图像向右平移 $\frac{\pi }{2}$个单位后,与函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$的图像重合,则 $\phi$=.

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差不为零， $a_1=25$，且 $a_1,a_{11},a_{13}$成等比数列.
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）求 $a_1+a_4+a_7+...+a_{3n-2}$.

如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $D,E$分别是 $AB,B{B}_1$的中点.

（Ⅰ）证明： $B{C}_1//$平面 $A_{1}CD$;
（Ⅱ）设 $A{A}_1=AC=CB=2,AB=2\sqrt{2}$，求三棱锥 $C-A_{1_{}}DE$的体积.

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 $t$该产品获利润500元，未售出的产品，每1 $t$亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 $t$该农产品.以（单位： $t$，100≤ $x$≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量， $T$(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（Ⅰ）将 $T$表示为 $x$的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润 $T$不少于57000元的概率.

在平面直角坐标系 $xoy$中，己知圆 $P$在 $x$上截得线段长为 $2\sqrt{2}$，在 $y$轴上截得线段长为 $2\sqrt{3}$.
（Ⅰ）求圆心 $P$的轨迹方程;
（Ⅱ）若 $P$点到直线 $y=x$的距离为，求圆 $P$的方程.

己知函数 $f\left(x\right)=x^2{e}^{-x}$.
(I)求 $f\left(x\right)$的极小值和极大值；
(II)当曲线 $y=f\left(x\right)$的切线 $l$的斜率为负数时，求 $l$在 $x$轴上截距的取值范围.

如图, $CD$为 $∆ABC$外接圆的切线, $AB$的延长线交直线 $CD$于点 $D$, $E,F$分别为弦 $AB$与弦 $AC$上的点,且 $BC·AE=DC·AF,B,E,F,C$四点共圆.

证明：

（Ⅰ） $CA$是 $∆ABC$外接圆的直径;
（Ⅱ）若 $DB=BE=EA$.求过 $B,E,F,C$四点的圆的面积与 $∆ABC$外接圆面积的比值.

已知动点 $P$， $Q$都在曲线C： $\left\{\begin{array}{l}x=2\cos t\\ y=2\sin t\end{array}\right.$（ $t$为参数）上，对应参数分别为 $t=a$与 $t=2a$（ $0<a<2\pi$）， $M$为 $PQ$的中点。

（Ⅰ）求 $M$的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将 $M$到坐标原点的距离 $d$表示为 $a$的函数，并判断 $M$的轨迹是否过坐标原点。

设 $a,b,c$均为正数，且 $a+b+c=1$，证明：
（Ⅰ） $ab+bc+ac\le \frac{1}{3}$；
（Ⅱ） $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 1$