2013年全国统一高考文科数学试卷（天津卷）

已知集合 $A=\left\{x\in R\left|\right|x|\le 2\right\}$, $B=\{x\in R|x\le 1\}$, 则 $A\cap B=$（）.

设变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}3x+y-6\ge 0\\ x-y-2\le 0\\ y-3\le 0\end{array}$则目标函数 $z=y-2x$的最小值为（   ）

阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 $n$的值为（  ）

设 $a,b\in R$, 则 " $(a-b)a^2<0$"是" $a<b$"的（）

已知过点 $P(2,2)$的直线与圆 $(x-1{)}^2+y^2=5$相切, 且与直线 $ax-y+1=0$垂直, 则 $a=$（   ）

函数 $f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$上的最小值是（   ）

已知函数 $f\left(x\right)$是定义在 $R$上的偶函数, 且在区间 $[0,+\infty )$单调递增. 若实数 $a$满足 $f\left({\log }_{2}a\right)+f\left({\log }_{\frac{1}{2}}a\right)\le 2f\left(1\right)$, 则 $a$的取值范围是（   ）

设函数 $f\left(x\right)=e^x+x-2,g\left(x\right)=\ln x+x^2-3$. 若实数 $a,b$满足 $f\left(a\right)=0,f\left(b\right)=0$, 则（   ）

$i$是虚数单位. 复数 $\left(3+i\right)\left(1-2i\right)$=.

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 $\frac{9\pi }{2}$, 则正方体的棱长为.

已知抛物线 $y^2=8x$的准线过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0(a>0,b>0)$的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为.

在平行四边形 $ABCD$中, $AD=1$,&#xa0; $\angle BAD=60°$, $E$为 $CD$的中点. 若 $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}·\stackrel{\rightharpoonup }{BE}=1$, 则 $AB$的长为.

如图, 在圆内接梯形 $ABCD$中, $AB//DC$, 过点 $A$作圆的切线与 $CB$的延长线交于点 $E$. 若 $AB=AD=5$, $BE=4$,则弦 $BD$的长为.

设 $a+b=2$, $b>0$, 则 $\frac{1}{2\left|a\right|}+\frac{\left|a\right|}{b}$的最小值为.

某产品的三个质量指标分别为 $x,y,z$, 用综合指标 $S=x+y+z$评价该产品的等级. 若 $S\le 4$, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 $10$件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(1) 用产品编号列出所有可能的结果;
(2) 设事件 $B$为 "在取出的 $2$件产品中, 每件产品的综合指标 $S$都等于4", 求事件 $B$发生的概率.

在 $△ABC$中, 内角 $A,B,C$所对的边分别是 $a,b,c$. 已知 $b\sin A=3c\sin B$, $a=3,\cos B=\frac{2}{3}$.
(Ⅰ) 求 $b$的值;
(Ⅱ) 求 $\sin \left(2B-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)$的值.

如图, 三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中, 侧棱 $A_{1}A\perp$底面 $ABC$,且各棱长均相等. $D,E,F$分别为棱 $AB,BC,A_1{C}_1$的中点.

(Ⅰ) 证明 $EF//$平面 $A_{1}CD$;
(Ⅱ) 证明平面 $A_{1}CD$⊥平面 $A_{1}AB{B}_1$;
(Ⅲ) 求直线 $BC$与平面 $A_{1}CD$所成角的正弦值.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为 $F$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过点 $F$且与 $x$轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 $A,B$分别为椭圆的左右顶点, 过点 $F$且斜率为 $k$的直线与椭圆交于 $C,D$两点. 若 $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}·\stackrel{\rightharpoonup }{DB}+\stackrel{\rightharpoonup }{AD}·\stackrel{\rightharpoonup }{CB}=8$, 求 $k$的值.

已知首项为 $\frac{3}{2}$的等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n(n\in N^{+})$, 且 $-2S_2,S_3,4S_4$成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式;
(Ⅱ) 证明 $S_n+\frac{1}{S_n}\le \frac{13}{6}(n\in N^{+})$.

设 $a\in \left[-2,0\right]$, 已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^3-\left(a+5\right)x,& x\le 0,\\ x^3-\frac{a+3}{2}{x}^2+ax,& x>0.\end{array}\right.$&#xa0;
(Ⅰ) 证明 $f\left(x\right)$在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $P_i\left(x_i,f\left(x_i\right)\right)\left(i=1,2,3\right)$处的切线相互平行, 且 $x_1{x}_2{x}_3\ne 0$,证明 $x_1+x_2+x_3>-\frac{1}{3}$.